Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.Методичка / Часть 1.doc

Скачиваний:

132

Добавлен:

12.04.2015

Размер:

7.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

Ответы.

1. а) ; б); в);

г) ; д); е).

2. а) возрастает на , убывает на.

б) возрастает на , убывает на.

в) возрастает на , убывает на.

г) возрастает на и, убывает на.

д) возрастает на , убывает на.

е) возрастает на и на, убывает на.

3.а) ;

б) ;

в) ;

г) ;;

д) ;;

е) ;

ж) .

4. а) – точка перегиба; выпуклость вверх на , выпуклость вниз на;

б) – точка перегиба; выпуклость вверх на, выпуклость вниз на;

в) точек перегиба нет; выпуклость вниз на

г) – точки перегиба;

на – выпуклость вверх

на 9 – вниз,

на – вверх;

д) – точка перегиба,

выпуклость вверх на ; выпуклость вниз на;

е) точек перегиба нет, на выпуклость вниз.

5. а)

б) – наклонная асимптота;

в) – горизонтальная асимптота;

–вертикальная асимптота;

г) – наклонная асимптота при

–горизонтальная асимптота при

д) – вертикальная асимптота;

–горизонтальная асимптота;

е) – вертикальная асимптота;

–горизонтальная асимптота.

6. а) ;

;

–точка перегиба.

б) ;

–точка перегиба.

в) экстремум нет.

–точка перегиба.

г) ;

;

–точка перегиба.

д) ;

–точки перегиба.

е) ;

точек перегиба нет.

7. а) ;;

б) ;;

в) ;;

г) ;;

д) ;;

е) ;.

8. а) ; б); в); г); д); е).

9. а)1; б) ; в); г); д); е) 3.

10. 1.

3. (кв. ед).

Задания для индивидуальной работы

Вариант 1.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя:

5. Задача.

Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Вариант 2.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму ?

Вариант 3.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя .

5. Задача.

Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма квадратов была наименьшей.

Вариант 4.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя .

5. Задача.

Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был равен 72 см³, причем стороны основания относились бы, как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей ?

Вариант 5.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя: .

5. Задача.

Объем правильной треугольной призмы равен . Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей ?

Вариант 6.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя ;

5. Задача.

Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей ?

Вариант 7.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя .

5. Задача.

Найти соотношение между радиусом и высотойцилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.

Вариант 8.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим ?

Вариант 9.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Периметр равнобедренного треугольника равен . Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим ?

Вариант 10.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Периметр равнобедренного треугольника равен . Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, был наибольшим ?

Вариант 11.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса .

Вариант 12.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса .

Вариант 13.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Решеткой длинной 120м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры площадки.

Вариант 14.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Основание треугольника равно ? а его периметр. Определить его две другие стороны так, чтобы площадь была наибольшей.

Вариант 15.

1. Исследовать функции и построить их графики

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. С помощью дифференциала приближенно вычислить

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя .

5. Задача.

Определить наибольшую площадь прямоугольника, у которого одна сторона лежит на основании данного треугольника, а две вершины – на боковых сторонах треугольника, если треугольник имеет высоту.

Вариант 16.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Из квадратного листа картона со стороной вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной фигуры склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был нибольшим?

Вариант 17.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

В прямой круговой конус радиуса и высотывписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

Вариант 18.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения . При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

Вариант 19.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

В шар радиуса вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

Вариант 20.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Из сектора круга радиусом свертывается коническая воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объем?

Вариант 21.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Даны точки и. На осинайти точку, сумма расстояний которой до точекинаименьшая.

Вариант 22.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

Вариант 23.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б)

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

В эллипс вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса, площадь которого наибольшая.

Вариант 24.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Через точку эллипсапровести касательную, образующую с осями координат треугольник, площадь которого наименьшая.

Вариант 25.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне боков «мокрый периметр» сечения будет наименьшим, если площадь «живого сечения» воды в канале равна, а уровень воды равен?

Вариант 26.

1. Исследовать функции и построить их графики:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:

3. Найти приближенное значение:

4. Найти указанный предел, используя правило Лопиталя

5. Задача.

«Извилистостью» замкнутого контура, ограничивающего площадь , называется отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же площади.