9. Наибольшее и наименьшее значения функции

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на некотором отрезке , надо вычислить значения этой функции на концах отрезка и во всех критических точках, принадлежащих этому отрезку. Наибольшее и наименьшее из полученных чисел и будет соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке.

Пример 6.9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Решение.

Найдем производную и критические точки:при,при. Критическая точкане принадлежит отрезку.

Найдем значения функции: .

Итак, наибольшее значение , наименьшее значение.

Пример 6.10. Бак цилиндрической формы (с крышкой) должен вмещать л воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление пошло меньше материала?

Решение:

Известна формула площади полной поверхности цилиндра

. Согласно условию задачи, объем цилиндра , откуда.

Следовательно, .

Исследуем функцию на наименьшее значение при.

.

Далее, . Таким образом, вторая производная в критической точкеположительна. Следовательно, по правилу 2 функцияимеет в точкеминимум. Этот минимум является её наименьшим значением, т.к.непрерывна в интервалеи имеет только один экстремум – минимум.

Задачи для самостоятельной работы Исследование функции

1. Найти область определения функций:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

2. Найти интервалы монотонности функций:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

3. Найти максимумы и минимумы следующих функций:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е);

ж) .

4. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функций:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

5. Найти асимптоты данных линий:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

6. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

7. Найти наибольшее и наименьшее значение данных функций на указанных отрезках:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

8. С помощью дифференциала приближенно вычислить данные величины:

а) ; б); в);

г) ; д); е).

9. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

10. Задачи.

1. Чему должны быть равны радиус основания , высотаи образующаяпрямого кругового конуса для того, чтобы при заданном объемеон имеет наименьшую полную поверхность?

2. Из квадратного жестяного листа со стороной желают сделать открытый сверху ящик возможно большого объема, вырезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая жесть, чтобы образовать бока ящика. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов.

3. Определить наибольшую площадь равнобедренного треугольника, вписанного в круг радиуса .