6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале, если дуга кривой расположена ниже (выше) касательной, проведенной к дуге в любой точке этого интервала.

Если функция во всех точках интервалаимеет, то график функции в этом интервале выпуклый (вогнуты).

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Если – точка перегиба графика функции, то вторая производнаяили не существует (необходимое условие существования точки перегиба).

Если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то точка– точка перегиба (достаточное условие существования точки перегиба).

Пример 6.5. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции .

Решение.

Функция определена и непрерывна на множестве . Найдем первую и вторую производные:,.

Решим уравнение ,.

Определим знак второй производной в интервалах ,.

Итак, в интервале график выпуклый, в интервале– вогнутый,является точкой перегиба,не является точкой перегиба.

7. Асимптоты.

Асимптотой назовем прямую, к которой неограниченно приближается точка кривой при ее удалении по кривой в бесконечность.

Если , то прямая– вертикальная асимптота.

Если существуют конечные пределы и, то прямая– наклонная асимптота.

Если , то прямая– горизонтальная асимптота.

Пример 6.6. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Найдем вертикальную асимптоту. В точке функция терпит разрыв и,.

Следовательно, – вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту .

,

Итак, – наклонная асимптота.

8. Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность (нечетность).

3. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты.

4. Найти нули функции, интервалы, знакопостоянства, точки пересечения графика с осью .

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графики функции и её точки перегиба.

7. Используя полученные данные, построить график функции.

Пример 6.7. Исследовать функцию и построить её график: ;

Решение:

1) Область определения функции .

2) , т.е., функция нечетная и её график симметричен относительно начала координат.

3) Функция непрерывна, точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.

Наклонная асимптота не существует, т.к.

.

4) Найдем нули функции:

.

Интервалы знакопостоянства:

Значит, при,

при .

5) Найдем производную: .

–критические точки.

Определим знак производной в интервалах .

Следовательно, функция возрастает на интервалах , убывает на интервале.

–точка максимума, ;

–точка минимума, .

6) Найдем вторую производную: при.

При , следовательно, график функции вогнутый на интервале.

При , следовательно график функции выпуклый на интервале.

Точка – точка перегиба графика,.

Строим график функции.

Пример 6.8. Исследовать функцию и построить её график

.

Решение.

1) Область определения функции: .

2) и, функция общего вида.

3) Функция непрерывна на интервале . В точкефункция имеет разрыв.

,

.

Поэтому – вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту .

.

.

–наклонная асимптота

4) Нули функции: .

Интервалы знакопостоянства: .

Итак, при,при.

5) Найдем производную:

.

Откуда и– критическая точка.

Определим знак производной в интервалах ,.

Функция возрастает на интервалах и убывает на интервале– точка максимума,. В точкеэкстремума нет, т.к. производная не меняет знак при переходе через.

6) Найдем вторую производную:

.

при

Определим знак второй производной: при. Следовательно, график функции в интервалевогнутый.

при . Следовательно, график функции в интервалевыпуклый.

Точка – точка перегиба,.

Строим график функций.