§ 6. Исследование функции.

1. Область определения функции.

Область определения функции – это множество значений аргумента, для которых существует функция.

Пример 6.1. Найти область определения следующих функций

1) , 2), 3).

Решение.

1) Функция определена на всей числовой оси, , т.к. нет таких значений аргумента, для которых не существует значение функции.

2) функция определена, если знаменатель дроби не равен нулю, т.е. . Решив квадратное уравнение, найдем.

Таким образом, функция определена для всех значений , кромеи.

Область определения данной функции

.

3) Функция определена, если подкоренное выражение . Решим это неравенство методом интервалов. Разложим многочлен на множители

. На числовой оси отметим точки , в которых многочлен обращается в нуль и определим его знак в полученных интервалах.

Таким образом, .

2. Исследование функции на четность и нечетность.

Функция называется четной (нечетной), если для любогои выполняется равенство

.

График четной функции симметричен относительно оси .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6.2. Исследовать на четность или нечетность функции

1) ; 2); 3).

Решение.

1) Функция определена при . Найдем.

, т.е. . Значит, данная функция является четной.

2) Функция определена при

, т.е. . Таким образом, данная функция нечетная.

3) функция определена для , т.е. для

, . Поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Назовем ее функцией общего вида.

3. Исследование функции на монотонность.

Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функции возрастающие (убывающие) на некотором интервале называются монотонными.

Если функция дифференцируема на интервалеи имеет положительную (отрицательную) производную, то функциявозрастает (убывает) на этом интервале.

Пример 6.3. Найти интервалы монотонности функций

1) ; 3).

Решение.

1) Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную .

Производная равна нулю, если и. Область определения – числовая ось, разбивается точками,на интервалы. Определим знак производной в каждом интервале.

В интервале производная отрицательна, функция на этом интервале убывает.

В интервале производная положительна, следовательно, функция на этом интервале возрастает.

2) Данная функция определена, если или

.

Определяем знак квадратного трехчлена в каждом интервале.

Таким образом, область определения функции

.

Найдем производную ,, если, т.е., но. Определим знак производной в интервалах.

В интервале производная отрицательна, следовательно, функция убывает на интервале. В интервалепроизводная положительна, функция возрастает на интервале.

4. Исследование функции на экстремум.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки, что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Если функция в точкеимеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует (необходимое условие существования экстремума).

Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими.