2. Представление числовых последовательносте

Произвольные последовательности можно выразить через стандартную последовательность – единичный импульс, используя за­держку и масштабирование. Числовая последователь­ность

..., а(0), а(1), а(2), ..., а(п), …,

где а(п) – величина п –го элемен­та, описывается равенством

{а(п)} = . (1.8)

Представление чисел

В цифровых устройствах обычно применяют два способа представления числа: сфиксированной иплавающей запятыми. В представлении числаA с фиксированной запятой предполагается обычно|A|< 1,запятаярасполагается между первым и вторым разрядами регистра числа,причемв первом разряде записывается код знака числа. Разрядная сетка, содержащаяm+ 1 двоичных разрядов, позволяет представить 2^m различных по абсолютной величине чисел с шагом 2^–m в диапазоне 0 … 1 – 2^–m

0 |A|1 – 2^–m.(1.9)

Если значение числа выходит за верхний предел указанного диапазона (например, в результате выполнения арифметических операций сложения может получиться |A| > 1),происходит переполнение разрядной сетки и результат искажается. Представление двоичного числа с плавающей запятой задается соотношениемA = 2^v,гдеvи – числа без знака, которыеназываются соответственно порядком и мантиссой числа A.

В разрядной сетке числа m_vразрядов отводится на представление порядка числа и его знака иm_разрядов – на представление мантиссы и ее знака;– общее число разрядов. Диапазон представления абсолютных значений чисел в форме с плавающей запятой много больше, чем в форме с фиксированной запятой. В устройствах ЦОС, реализуемых в виде спецвычислителей, применяется, как правило, представление с фиксированной запятой.

Кодирование чисел

Для кодирования числа с фиксированной запятой

A =  0, a₁ a₂ … a_m, (1.10)

где — числовые разряды с весом

используются три основных способа: прямой, обратный и дополнительный коды.

Прямой код числаA(1.10) записывается в виде

[A]_пр=

т.е. знак положительного числа кодируется нулем, знак отрицательного числа — единицей, а числовые разряды кода совпадают с числовыми разрядами самого числа A.

Обратный код числаA(1.10) представляется в виде

[A]_обр=

где –инверсия разрядаa_i(замена 0 на 1 и наоборот).

Положительные числа представляются, как в прямом коде, отрицательные – кодом, в знаковый разряд которого записывается единица, а в числовые разряды – инвертированные значения разрядов прямого кода (это эквивалентно сложению m-разрядного числа A с числом 2 – 2^–m, т. е. сложению с числом, содержащим во всех разрядах единицы).

Дополнительный код числаA (1.10) представляется в виде

[A]_доп=

т.е. положительные числа представляются так же, как и в прямом коде, а отрицательные — кодом, в знаковый разряд которого описывается единица, а в числовые разряды — инвертированные значения разрядов прямого кода и к младшему разряду добавляется единица. Это эквивалентно сложению отрицательного m-разрядного числаA с числом два: 10, 0000.

Обычно прямой код используется при выполнении операции умножения, а дополнительный код — при выполнении операции сложения с отрицательными числами.