6. Прямые методы расчета цифровых фильтров

В предыдущих разделах были рассмотрены методы расчета цифровых фильтров, основанные на дискретизации фильтров непрерывного времени. Существуют также прямые методы расчета цифровых фильтров в частотной или временной области, которые образуют вторую группу методов расчета цифровых фильтров. К ним относятся методы расчета по заданному квадрату ампли­тудной характеристики и методы расчета во временной области.

1. Расчет по квадрату амплитудной характеристики

Запишем z-преобразование импульсной характеристики БИХ-фильтра в виде отношения

Н(z) = .

Квадрат амплитудной характеристики фильтра

|H(e^j)|² = Н(z) Н(z^–1) при z = e^j

можно представить как отношение тригонометрических функ­ций от частоты

|H(e^j)|² = . (8.46)

Выражение (8.46) используется в основе многих методов расчета цифровых фильтров по заданному квадрату амплитудной харак­теристики. Кроме того, с помощью этого выражения цифровой фильтр удается связать с аналоговым фильтром, квадрат амплитудной характеристики которого равен отношению полиномов по Ώ². Используя подстановку

можно выражение (8.46) привести к виду, характерному для передаточной функции аналогового фильтра.

Перепишем выражение (8.46)в упрощенной форме

|H(e^j)|² =.

Здесь — рациональный полиномn-го порядка по тригоно­метрическим функциям. Соответствующий выбор функции позволяет получить цифровые фильтры различных типов, обла­дающие заданными амплитудными характеристиками.

Расчет БИХ-фильтров по заданному квадрату амплитудной характеристики можно распространить на некоторые другие тины фильтров, причем они необязательно должны быть филь­трами нижних частот. Применение рассматриваемого метода сопря­жено с двумя трудностями. Во-первых, для построения фильтра с заданными свойствами необходимо подобрать подходящий рацио­нальный полином . Во-вторых, функцию квадрата амплитуд­ной характеристики |H(e^j)|² приходится раскладывать на сомножи­тели, чтобы найти ее полюсы и нули. Как правило, выполнить это разложение весьма непросто, что делает применение рассматривае­мого метода расчета фильтра нежелательным.

2. Расчет БИХ-филътров во временной области

Наряду с методами расчета фильтров, обладающих заданными частотными характеристиками, существуют методы расчета фильт­ров с заданными импульсными характеристиками. Пусть z-преобразоваиие импульсной характеристики h(k) фильтра равно

Н(z) = = .

и требуется, чтобы импульсная характеристика аппрокси­мировала заданную последовательность g(k) в диапазоне 0  k  Р – 1. Можно найти такой набор коэффициентов a_i и b_i, что

 =

будет минимальной. Здесь w (k) — положительная весовая функ­ция.

Декция 9

Быстрое преобразование фурье

1. Основы алгоритмов бпф

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) X(k) конечной последовательности x(n), n = 0, 1, ..., N – 1

X(k) = , k = 0, 1, ..., N – 1; (1)

обратное ДПФ x(n) = ,(2)

где n = 0, 1, ..., N – 1; W_N = – периодическая последовательность с периодомN

, m = 0, 1, 2, ... .

Непосредственное вычисление ДПФ X(k) (12.1) при комплексных значениях x(n) требует (N–1)² комплексных умножений и N(N–1) сложений комплексных чисел. Для больших значений N (сотни, тысячи) прямое вычисление ДПФ (12.1) требует выполнения очень большого числа арифметических операций умножения и сложения, что затрудняет реализацию вычисления в реальном масштабе времени.

Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют набор алгоритмов, реализация которых приводит к существенному уменьшению вычислительной сложности ДПФ (12.1). Основная идея этих алгоритмов состоит в разбиении исходной N-точечной последовательности на две (N/2)-точечные последовательности, из ДПФ которых конструируется ДПФ исходной последовательности. Для двух (N/2)-точечных последовательностей требуется примерно 2(N/2)² = N²/2) умножений комплексных чисел – количество операций уменьшается примерно в 2 раза. Аналогично вместо вычисления ДПФ (N/2)-точечной последовательности можно вычислить ДПФ для двух (N/4)-точечных последовательностей и таким образом вновь уменьшить требуемое количество операций. Если N = 2^v, v > 0 и целое, то процесс уменьшения размера ДПФ может быть продолжен до тех пор, пока не останутся только 2-точечные ДПФ. Общее число этапов вычисления ДПФ равно v = log₂N, а количество требуемых арифметических операций для вычисления N-точечной ДПФ, порядка Nv, уменьшается примерно в N/log₂N раз. Так, при N = 1000 для прямого вычисления ДПФ согласно (12.1) требуется примерно N ² = 10⁶ операций комплексных умножений и сложений, а при использовании алгоритмов БПФ таких операций требуется всего порядка 10⁴, т. е. объем вычислений сокращается примерно на два порядка.

БПФ с прореживанием по времени требует перестановку отсчетов входной последовательности x(n), а БПФ с прореживанием по частоте – перестановку отсчетов выходной последовательности X(k).