!. Цифровые фильтры с бесконечными импульсными характеристиками

Преобразователем (системой, фильтром) с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) называют си­стему, длина импульсной характеристики которой не ограничена. Последователь­ности бесконечной длины составляют основу большого класса методов проектирования цифровых фильтров.

Условия физической реализуемости и устойчивости фильтров с бесконечными импульсными характеристиками (БИХ) накладывают ограничения на импульсные характеристики:

h(n) = 0 при n < 0; .

Общая форма записи z-преобразования импульсной характеристики БИХ–фильтров имеет вид

H(z) = = /( 1 + ) (1)

– по крайней мере, один из коэффициентов a_m отличен от нуля.

В отличие от КИХ–фильтров физически реализуемые, устойчивые БИХ–фильтры не обладают строго линейной фазовой характеристикой; исключение – частный случай, когда все полюсы H(z) размещаются на единичной окружности. Фильтр имеет линейную фазовую характеристику, если H(z) = H(z^–1). Для БИХ–фильтров это условие означает, что каждому полюсу передаточной функции H(z), расположенному внутри единичного круга (модули этих полюсов меньше 1), должен соответствовать зеркально отображенный полюс вне единичного круга, поэтому такой фильтр неустойчивый. При расчете БИХ-фильтров приходится рассматривать аппроксимацию заданных характеристик для анализа условий устойчивости.

Специальный вид БИХ-фильтров, у которых при изменении положения полюсов и нулей меняется только фазовая характеристика, называют всепропускающими цепями. Каждому полюсу передаточной функции H(z) всепропускающей цепи в точке z = re^j, соответствует нуль в точке

z = (1/r) e^j, причем для действительных последовательностей h(n) и полюсы, и нули должны иметь комплексно сопряженные пары – рис.1 .

Рис. 1. Расположение нулей и полюсов

Всепропускающего фильтра 2-го порядка

Построение БИХ-фильтров с линейными ФЧХ основано на использовании «инверсии времени» z(n) = w(–n).

На практике методы, основанные на инверсии времени, точно реализовать невозможно ввиду того, что приходится инвертировать бесконечные по времени последовательности, не дожидаясь, пока они закончатся. Ограничение обрабатываемых последовательностей во временных рамках приводит к ошибкам.

Три группы методов расчета БИХ – фильтров

Проектирование фильтра начинается с определения коэффициентов b_k и a_m в формуле (8.33)

H(z) = = /( 1 + ),

которые обеспечивают аппроксимацию заданных характеристик фильтра. Такими характеристиками могут быть: импульсная, частотная, характеристика групповой задержки и др.

Одну группу методов проектирования цифровых фильтров составляют методы отображения характеристик аналогового прототипа из s–плоскости в z–плоскость для цифровых фильтров. Вместо того чтобы заново создавать теорию расчета цифровых фильтров, можно использовать простые методы отображения, позволяющие преобразовать фильтры из одной области в другую. Такие методы расчета цифровых фильтров, включающие проектирование соответствующего аналогового фильтра и его дискретизацию, наиболее широко используется при расчете БИХ – фильтров. Методы отображения из s-плоскости в z-плоскость используются при проектировании стандартных фильтров верхних и нижних частот, полосовых и режекторных фильтров; теория расчета таких фильтров в непрерывном времени хорошо разработана.

Вторую группу методов проектирования цифровых БИХ–фильтров составляют методы расчета в z-плоскости. Часто удается найти такое расположение полюсов и нулей фильтра, при котором обеспечивается некоторая аппроксимация заданной характеристики фильтра.

Третий подход к расчету БИХ–фильтров – применение процедур оптимизации при нахождении полюсов и нулей в z-плоскости. Расчет фильтров обычно производится методом последовательных приближений.

Расчет БИХ–фильтров по аналоговым прототипам

Наиболее распространены методы дискретизации характеристик аналогового прототипа; при этом можно воспользоваться методами расчета аналоговых фильтров. Известны такие классы аналоговых преобразователей, как фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические. Применяются несколько методов преобразования (дискретизации) аналогового фильтра в эквивалентный цифровой.

Аналоговый фильтр описывается передаточной функцией

H(s) =/ = / (2)

с известными коэффициентами a_m и b_k.

Дифференциальное уравнение аналогового фильтра имеет вид

d^my(t) / dt^m = d ^kx(t) / dt ^k,

где x(t) и y(t) – колебания на входе и выходе фильтра соответственно.

Четыре метода дискретизации характеристик аналогового фильтра–прототипа:

1. метод отображения дифференциалов;

2. метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;

3. метод согласованного z – преобразования;

4. метод билинейного преобразования.

1. Метод отображения дифференциалов – наиболее простой метод дискретизации аналоговой системы – замена дифференциалов на конечные разности.

При любом отображении непрерывного пространства в дискретное пространство должны выполняться обязательные требования: