Третий метод проектирования – оптимизация фильтров с минимаксной ошибкой

Задачу проектирования оптимального КИХ–фильтра с линейной фазовой характеристикой можно сформулировать через условия минимизации максимальных ошибок аппроксимации по Чебышеву.

Частотная характеристика фильтра с линейной фазой имеет вид

H(e^j) = H^*(e^j). (8.30)

В зависимости от значения Lи формы представления функции фильтры подобного класса делятся на 4 вида.

Фильтры вида 1: L = 0; H^*(e^j) = a(n)cos( n).

Фильтры вида 2: L = 0; H^*(e^j) = b(n)cos[ (n – 0,5)].

Фильтры вида 3: значение L= 1 и выражение для функции из (8.30)

H^*(e^j) = c(n)sin( n).

Фильтры вида 4: значение L= 1 и выражение для характеристики

H^*(e^j) = d(n)sin[ (n – 0,5)].

Выражение для H^*(e^j)можно записать в виде произведения функции частотыQ(e^j)и члена P(e^j), состоящего из суммы косинусов.

Для фильтров вида 3

Q(e^j) = sin() и P(e^j) =c^~(n)cos( n), (8.31)

т.е. справедливо равенство

c(n)sin( n) = sin()c^~(n)cos( n).

Для фильтров вида 4

Q(e^j) = sin(/2) и P(e^j) = d^~(n)cos( n),

т.е. d(n)sin [(n – ½)] = sin() d^~(n)cos( n).

Задачу расчета оптимального КИХ–фильтра с линейной фазой можно сформулировать в виде задачи чебышевской аппроксимации. Для возможности выбора величины ошибки для различных частотных полос введем заданную (действительную) частотную характеристику фильтра D(e^j)и весовую функцию ошибки аппроксимацииW(e^j).

Взвешенная ошибка аппроксимации по определению равна

E(e^j) = W(e^j)[D(e^j) – H^*(e^j)].

Записав H^*(e^j) в виде произведенияP(e^j)иQ(e^j), представимE(e^j) в видеE(e^j)=W(e^j)[D(e^j) – P(e^j)Q(e^j)].

Функция однозначно зависит от частоты, поэтому ее можно вынести за скобки E(e^j)=W(e^j)Q(e^j) [D(e^j)/Q(e^j) – P(e^j)].

Обозначим (e^j) =W(e^j)Q(e^j)и

(e^j) = D(e^j)/Q(e^j).

В этих обозначениях функция ошибки имеет вид

E(e^j) = (e^j) [(e^j) – P(e^j)].

Теперь задачу чебышевской аппроксимации можно сформулировать как задачу нахождения коэффициентов (n), которые минимизируют максимум модуля ошибкиE(e^j)в заданных частотных полосах.

Обозначим минимальную ошибку символом E(e^j). Задачу чебышевской аппроксимации можно сформулировать выражением

E(e^j) = min[max_A E(e^j)], (8.32)

где А– совокупность всех интересующих разработчика частотных полос; минимизация производится по всем возможным значениям коэффициентов (n)или(n).

Для решения (8.32) используется обобщенная теорема Чебышева: Если P(e^j)представляет собой линейную комбинацию изrкосинусных функцийP(e^j)=(n)cos(n), то необходимое и достаточное условие того, чтоP(e^j)является единственной и наилучшей аппроксимацией с взвешиванием непрерывной функции(e^j) в компактной области (0,), состоит в том, что взвешенная функция ошибкиE(e^j)имеет по крайней мере (r+ 1) экстремальных частот в подобластиA, т.е. в этой подобласти должно существовать (r+ 1) точек_i, таких, что₁<₂<₃< …< _r <  _r+1 и E(e^ji) = – E(e^ji+1), i = 1, 2, …, r,

и E(e^ji) = max_A [E(e^j)].

Обобщенная теорема Чебышева дает необходимые и достаточные условия для получения оптимального решения.

Количество экстремумов функции ошибки оптимального КИХ-фильтра с линейной ФЧХ ecstr(r+ 1) – (8.31). Для фильтров вида (8.31) максимальное число экстремумов функцииH^*(e^j)на интервале удовлетворяет условиюN_e  (N – 1)/2.

Максимальное число экстремумов функции ошибки E(e^j)определяет конкретный способ расчета оптимального фильтра.

Число частот, на которых функция H^*(e^j)может иметь экстремумы, строго зависит от вида импульсной характеристики проектируемого фильтра с линейной фазой. ЗначениеH^*(e^j)в каждом экстремуме определяется весовой функцией W(e^j), заданной частотной характеристикойD(e^j) и величиной – максимумом ошибки аппроксимации. Для получения оптимального фильтра необходимо распределить частоты экстремумов по частотным диапазонам при условии максимального числа экстремальных частот результирующей характеристики фильтра. Такие преобразователи называют фильтрами с максимумом пульсаций. Фильтры нижних частот этого типа имеют на одну пульсацию больше минимального числа пульсаций, обеспечивающего оптимальность.

Для вычисления коэффициентов системной функции H^*(e^j)оптимального по Чебышеву КИХ-фильтра составляется система нелинейных уравнений

H^*(e ^{j i}) =  /W(e ^{j i}) + D(e ^{j i});

d[H^*(e ^{j i})]/d = 0 при  =  _i , i = 1, 2, …, N_e.

Эту систему из 2N_eуравнений можно решить методом последовательных приближений, используя процедуру нелинейной оптимизации (например алгоритм Флетчера – Пауэлла).

Пример. Оптимальный преобразователь Гильберта описывается выражением D(e^j) = – j,2 F_L    2 F_H;

D(e^j) = j, 2(1 – F_L)    2(1– F_H);

где F_L– нижняя, аF_H– верхняя частоты среза полосы, в которой фильтр аппроксимирует идеальную частотную характеристику преобразователя Гильберта.

Для минимизации максимума ошибки характеристики преобразователя Гильберта используется весовая функция W(e^j)= 1.

Для фильтра вида 3 величина F_Hдолжна быть меньше 0,5 и величинаF_L– больше 0; целесообразно выбиратьF_L= 0,5 –F_H, в этом случае характеристика будет симметричной относительно частоты = /2, т.е. f= 0,25.

Лекцмя 8