1. Уравнения цифровых фильтров

Связь между входной x(n)и выходнойy(n)последовательностями дискретного преобразователя задается некоторым оператором{}:

y(n) = {x(n)}.

Важнейший класс дискретных преобразователей – цифровые фильтры – описываются разностными уравнениями (1)

= ,

где a_m,b_k– вещественные или комплексные коэффициенты.

Если a₀= 1, то выходная последовательность

y(n) =–⁺. (2)

Фильтр называется параметрическим, если хотя бы один из коэффициентов a_m,b_kзависит от переменнойn.

Если хотя бы один из коэффициентов a_m0 0, то фильтр называется рекурсивным.

Если в (8.9) все коэффициенты a_m0 = 0,

y(n) = _k=0 b_k x(n – k), (3)

то фильтр называется нерекурсивным – в этом случае значения выходной последовательности y(n) в любой моментnопределяются лишь значениями входной последовательности в этот же момент иN – 1 «прошлыми» значениями входной последовательностиx(n).

2. Структурные схемы цифровых фильтров

Алгоритмы рекурсивных и нерекурсивных фильтров можно реализовать с помощью преобразователей, выполняющих три простейшие операции: алгебраическое сложение, умножение и задержка сигнала (числовой последовательности) на один интервал дискретизации T_K. Задержка числовой последовательности на один интервал соответствует умножению ееz–образа наz ^–1.

При аппаратной реализации операция алгебраического сложения выполняется сумматором, для задержки последовательности на один интервал требуется один элемент памяти – регистр.

Структурные схемы цифровых фильтров могут соответствовать реализации с помощью программируемой логики – микропроцессорной системы (программная реализация).

По передаточным функциям, которые также называются системными, могут быть определены структурные схемы цифровых фильтров. Передаточная функция фильтра H(z)– это соотношение

H(z) = Y(z) / X(z), (4)

где X(z) –z-изображение входной последовательностиx(n), аY(z) –z-изображение выходной последовательностиy(n)фильтра при нулевых начальных условиях.

Передаточная характеристика рекурсивного дискретного фильтра – уравнение (8.9)

y(n) = –_m=1 a_m y(n – m) + _k=0 b_k x(n – k),

имеет вид H(z) = _k=0 b_k z ^{– k}/( 1 + _m=0 a_m z ^–m), (5)

где b_k,a_m– постоянные коэффициенты (предполагаетсяa₀= 1). Соотношение (2) получено в результатеz-преобразования функции (8.9) и в соответствии с (8.11).

Передаточная характеристика нерекурсивного дискретного фильтра, описываемого уравнением y(n) =_k=0 b_k x(n –k), имеет вид

H(z) = _k=0 b_k z ^{– k}. (8.13)

Пример 1. Найдем передаточную характеристику фильтра, который описывается разностным уравнением 1-го порядка

y(n) = ay(n – 1) + x(n), где a = const.

Обозначим X(z) –z-изображение входной последовательностиx(n), аY(z) –z-изображение выходной последовательностиy(n)фильтра. Тогда при нулевых начальных условияхY(z)=aY(z)z ^–1+X(z). Отсюда получим

H(z)= 1/(1 +az^-1).

z ^–1



b₁Рис.1. К примеру 2.



x(n) y(n)



b₀

Пример 2. Составим структурную схему дискретного фильтра, который описывается разностным уравнением

y(n) = b₀x(n) + b₁x(n – 1).

Этот фильтр характеризуется передаточной функцией

H(z) = b₀ + b₁z^–1

– структурная схема на рис. 8.1.

Пример 3. Составим структурную схему дискретного фильтра, который описывается разностным уравнением

y(n) = – a₁y(n – 1) + x(n) + b₁x(n – 1).

Этот фильтр характеризуется передаточной функцией

H(z) = (1 + b₁z^-1) /(1 + a₁z^-1)

– структурная схема на рис. 2.





x(n) y(n)

z ^–1

^

^

–a₁ b₁

Рис.2. К примеру 3

Эквивалентные схемы фильтров

Передаточная функция неоднозначно определяет структурную схему дискретного фильтра. Цифровые фильтры с заданными характеристиками можно построить на основе фильтров с известными характеристиками путем различных соединений отдельных звеньев.

Эквивалентныминазывают фильтры, у которых при нулевых начальных условиях и одинаковых входных сигналах выходные сигналы также одинаковы, т.е. эквивалентные фильтры имеют идентичные реакции на одинаковые воздействия.

1. Последовательноесоединение: выходная последовательность предшествующего звена есть входная последовательность последующего звена. Система из последовательного соединения 2-х звеньев с передаточными характеристикамиH₁(z),H₂(z)имеет результирующую передаточную функцию

H_Э(z) = H₁(z)H₂(z),

т.к. H_Э(z) = Y(z)/X(z) = (Y(z)/X₂(z))(X₂(z)/X(z)).

2. Параллельноесоединение: входная последовательность для всех звеньев одна и та же, а выходная последовательность системы равна сумме выходных последовательностей всех звеньев – результирующая передаточная функция равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

H_(z) = H₁(z)+H₂(z).

3. Обратная связь: выходная последовательность фильтра через звено обратной связи подается на вход фильтра. Результирующая передаточная функция такой системы

H_Э(z) = H₁(z) / [1  H₁(z)H_oc(z)].

Знак в знаменателе соответствует положительной «+» или отрицательной «–» обратной связи. Доказательство:

Y(z)= H₁(z)[X(z) +X_oc(z)] = H₁(z)[X(z) +Y(z)H_oc(z)],

отсюда очевидно

H_Э(z)= Y(z) / X(z) = H₁(z) / [1 + H₁(z)H_oc(z)].

Лулция 7