3. Свойства симметрии

Если периодическая последовательность x_p(n) с периодом в N отсчетов действительная, то ее ДПФ X_p(k) удовлет­воряет условиям симметрии:

Re[X_p(k)] = Re[X_p(N – k)], Im[X_p(k)] = –Im[X_p(N – k)],

 X_p(k) =  X_p(N – k) , (5.38)

arg X_p(k) = –arg X_p(N – k).

Аналогичные равенства справедливы и для конечной действитель­ной последовательности x(n), имеющей N-точечное ДПФ X_p(k). Если ввести дополнительное условие симметрии последователь­ности x_p(n), т. е. считать, что x_p(n) = x_p(N – n), то окажется, что X_p(k) может быть только действительной.

Чаще всего приходится иметь дело с действитель­ными последовательностями, поэтому, вычислив одно ДПФ, можно получить ДПФ двух последовательностей, используя свойства симметрии (5.38). Рассмотрим действительные периодические последовательности x_p(n) и y_p(n) с периодами в N отсчетов каждая и N-точечными ДПФ X_p(k) и Y_p(k) соответственно. ДПФ комплексной последовательности

z_p(n) = x_p(n) + j y_p(n)

равно

Z_p(k) =[x_p(n) + j y_p(n)];

Z_p(k) = X_p(n) + j Y_p(n). (19)

Выделяя действительную и мнимую части равенства (19), по­лучим

Re[Z_p(k)] = Re[X_p(k)] – Im[Y_p(k)];

Im[Z_p(k)] = Im[X_p(k)] + Re[Y_p(k)].

Действительные части X_p(n) и Y_p(n) симметричны, а мнимые — антисимметричны, поэтому их легко разделить, используя опера­ции сложения и вычитания:

Re[X_p(k)] = {Re[Z_p(k)] + Re[Z_p(k)]}/2;

Im[Y_p(k)] = {Re[Z_p(k)] – Re[Z_p(k)]}/2;

Re[Y_p(k)] = {Im[Z_p(k)] + Im [Z_p(k)]}/2;

Im[X_p(k)] = {Im[Z_p(k)] – Im [Z_p(k)]}/2.

Итак, вычисляя одно N-точечное ДПФ, удается преобразовать сразу две действительные последовательности длиной по N от­счетов. Если эти последовательности еще и симметрич­ные, то число операций, необходимых для получения их ДПФ, можно сократить еще больше.

3. Спектральный анализ в точках z-плоскости

Рис. 9. Фильтр для скользящего спектрального анализа:

блоки с обозначением z^–1 – элементы задержки;

величины, равные степеням z₁, – коэффи­циенты умножителей

Спектральный анализ можно рассматривать как задачу вычисления z-преобразования модифицированного сигнала в некоторой области на z-плоскости. Спектральные составляющие сигнала х(п) можно измерять в любой точке z₁ на z-плоскости

S_n(z₁) = , (20)

где N — число отсчетов, по которым находится оценка спектра.

Во многих приложениях, например, когда спектр сигнала меняется, приходится измерять S_n(z₁) для последователь­ных значений п, т. е. значения S₀(z₁), S₁(z₁), S₂(z₁) и т. д. Такой способ измерений называют скользящим спектральным измерением; оно обеспечивается за счет смещения на один отсчет вперед вре­меннόго окна (содержащего N отсчетов) и повторения измерения. Из формулы (5.40) видно, что скользящее спект­ральное измерение в одной точке z = z₁ эквивалентно преобразованию фильтром с импульсной характеристикой вида

h(n) = , 0  n  N – 1, (21)

По фор­муле (5.40) составляется схема вычисления прямой свертки, обеспечивающая спектральные измерения – рис. 5.9.

По выражениям для двух последовательных спек­тральных измерений S_{n – 1}(z₁) и S_n(z₁), можно получить рекуррентную формулу:

S_n (z₁) = S_{n – 1}(z₁) + x(n) – x(n – N) (22)

– рис.10.

Рис. 10. Рекурентный метод скользящего спектрального анализа

Лекция 6