Примеры z-преобразований на основании (16):

			{xk}	X(z)
1	Единичный импульс	u0	{1, 0, 0, 0,…}	1
2	Функция включения	u–1	{1, 1, …}	z/( z – 1)
3	Бесконечная дискретная последовательность		{1, а, а 2, а 3,…} при  z > а.	z/( z – 1)

1. z-преобразование последовательности

{x_k} = (1, 1, 1, 0, 0, …) X(z) = x₀ + x₁/ z + x₂/ z² =

= (z² + z + 1)/z².

2. z-преобразование функции включения {x_k} = u_–1 = (1, 1, …);

X(z) = 1 + 1/ z + 1/ z² + … = 1/(1 – 1/z) = z/(z – 1).

3. Бесконечная дискретная последовательность

{x_k} = (1, а, а ², а ³,…) соответствует z-преобразованию

X(z) = 1/(1 – а/z) = z/( z – а) при  z > а.

5. Соотношение между z–преобразованием и

Фурье–преобразованием последовательности

z-преобразование последовательности можно рассматривать как способ ее однозначного представления в комплексной z-плоскости. Из определения (16) видно, что z-преобразование, вы­численное на единичной окружности, т.е. при z = , дает

Х(z) =, (17)

что совпадает с преобразованием Фурье исходной последователь­ности. Ниже будет также показано, что если все особые точки Х(z) расположены внутри круга единичного радиуса, то система с соответствующей импульсной характеристикой является устой­чивой. Поэтому единичная окру­жность в z-плоскости играет весь­ма важную роль. Например, имеется немало важных нереали­зуемых систем (таких, как иде­альный фильтр нижних частот или идеальный дифференциатор), z-преобразования которых сходят­ся только на единичной окружно­сти, т. е. эти системы имеют Фурье-преобразование, но не име­ют z-преобразования.

Обычный способ графическо­го изображения информации, со­держащейся в z-преобразовании, – задание особых точек (полюсов) и нулей функции Х(z). Так, например, z-преобразование, рассмотренное в примере 4, может быть представлено так же, как на рис. 5, где крестиками изо­бражены полюсы, а кружками – нули функции Х(z). С помощью такого изображения расположения нулей и полюсов, а также используя дополнительное предположение о физической реали­зуемости системы, можно однозначно (с точностью до постоян­ного множителя) восстановить z-преобразование.

Пример 5.5. Найти z-преобразование системы с импульсной характеристикой:

h(n) =

Решение. Используя определение z-преобразования (17), получим

H(z) =,

H(z) =.

H(z) сходится при |z| > r. Расположение нулей и полюсов пробразователя в z-плоскости показано на рис. 6.1, б) – пара комплексно сопряженных полюсов в точках z = rи двойной нуль при z = 0.

Функцию Х(z) можно восстановить по известному расположению нулей и полюсов. Если функция Х(z) имеет N полюсов в точках z = р₁, р₂, ..., р_N и М нулей в точках z = z₁, z₂, ..., z_М, то она может быть записана в ви­де отношения произведений

X(z) = A ,

где A — произвольная постоянная.

Рис.5.Полюсы () и нули (о) для систем 1-го и 2-го порядка

Перемножив сомножители, получим наиболее общую форму X(z) – дробно-рациональную функцию от z^–1

X(z) = . (18)

Выражение (5.18) часто используется при синтезе фильтров.