4. Теорияz-преобразования в задачах анализа и синтеза линейных систем применяется преобразование Лапласа, которое приводит дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения.

Ядро преобразования Лапласа e^pt, где p =   j – комплексная переменная. Изображение по Лапласу дискретных последовательностей, в которые входит функция e^pT, оказываются трансцендентными функциями переменной p, что затрудняет анализ.

Для упрощения анализа можно перейти к новой переменной z, связанной с p соотношением

z = e^pT; p = ln z /T.

При такой замене изображения дискретных последовательностей трансцендентные функции комплексной переменной p преобразуются в рациональные функции от переменной z, благодаря этому упрощается их представление на плоскости z. Преобразование плоскости p =  + j в плоскость z = x + jy можно осуществить с помощью соотношений, связывающих координаты _k, _k точек на плоскости p с координатами x_k, y_k точек на плоскости z

z_k = x_k + jy_k = e^{(k + jk)T}; x_k = e^kT cos _k; y_k = e^{k T} sin _k.

Числовой последовательности {x_k} = (x₀, x₁, x₂, x₃,…), содержащей отсчеты некоторого сигнала, можно поставить в соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной z:

X(z) = x₀ + x₁/ z + x₂/ z² + x₃/ z³ + … = . (16)

Такая сумма, если она существует, называется z-преобразовани-ем последовательности {xk}. Ясно, что комплексная функция (5.16) определена лишь для тех значений z, при которых степен­ной ряд сходится.

Последовательности конечной длины

Если последовательность x(n) отличается от нуля только в конечном интервале N₁  n  N₂, то X(z) сходится в z-плоскости везде, за исключением, быть может, точек z=0 или z=. Линейную стационарную систему, импульсная характеристика которой – последовательность конечной длины, называют системой с ко­нечной импульсной характеристикой (КИХ) или КИХ-фильтром. На последовательно­стях конечной длины основан важный класс методов проектиро­вания цифровых фильтров.

Рис. 4.Последовательность конечной длины

Типичная импульсная характеристика {h(n)} конечной длины изображена на рис. 4. Если все ее элементы h(n) конечны, то линейная стационарная система с такой импульсной характеристикой всегда устойчива. Проверка на устойчивость

– условие физической реализуемости (2.12), сводится к суммированию конечного числа ограничен­ных слагаемых. Такую систему всегда можно сделать физически реализуемой, введя необходимую задержку импульс­ной характеристики (например, на –N₁ отсчетов, если N₁< 0).

Физически реализуемые последовательности

Если x(n) отличается от нуля только при 0  N₁  n < , то X(z) сходится везде вне круга радиуса R₁. Величина R₁ зависит от положения особых точек X(z), называемых полюсами системы. Как будет показано, при R₁ < 1 соответствующая система явля­ется устойчивой. Физически реализуемые последовательности весьма важны, так как на их основе строится большинство реаль­ных систем.

Нереализуемые последовательности

Если последовательность x(n) имеет ненулевые значения в области

– < n < N₁  0, то ряд X(z) сходится во всех точках, лежащих в кру­ге радиуса R₁, причем R₁ определяется положением особых точек X(z). В практических задачах нереализуемые последовательности обычно не встречаются, но при рассмотрении некоторых теорети­ческих вопросов они могут представлять интерес.

Практический интерес имеют z-преобразования некоторых стандартных после­довательностей.

Пример 1. Найти z-преобразование единичного импульса.

Решение. Последовательность x(n) = 0 при любых п, за исключением z = 0, где x(n) = 1, то Х(z) = 1. Х(z) сходится на всей z-плоскости, так как единичный импульс – последовательность конечной длины.

Пример 2. Найти z-преобразование единичного скачка.

Решение. Последовательность x(n) = 0 везде, кроме n  0, где

x(n) = 1, поэтому

Х(z) == ,

причем Х(z) сходится при |z| > 1, так как Х(z) имеет единствен­ную особую точку z = 0.

Пример 3. Найти z-преобразование комплексной экспоненты

x(n) = 0, n < 0; x(n) = , n  0.

Решение. Вычисляя z-преобразование, получим

Х(z) === ,

причем Х(z) сходится при |z| > 1, так как единственной особой точкой Х(z) является z = .

Пример 4. Найти z-преобразование простой экспоненциаль­ной последовательности

x(n) = 0, n < 0; x(n) = aⁿ, n  0.

Решение. Подставив x(n) в (5.16), получим Х(z) сходится при |z| > а, так как имеет только одну особую точку z = a.