3. Физическая реализуемость

Линейная стационарная система физически реализуема, если величина отклика при п = п₀ зависит только от отсчетов входной последо­вательности с номерами п  п₀. Для линейных стационарных систем это означает, что импульсная характеристика h(п) равна нулю при п < 0.

Некоторые системы, имеющие большое теоретическое значение, физически нереализуемы. К ним от­носятся идеальный фильтр нижних частот и идеальный диффе­ренциатор. Поэтому значительная часть теории фильтров посвя­щена методам аппроксимации физически нереализуемых систем реализуемыми системами.

Линейная стационарная система устойчива, если при любой огра­ниченной входной последовательности выходная последователь­ность также ограничена. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является следующее требование к импульс­ной характеристике:

. (2)

Необходимость и достаточность условия (2) можно доказать,

рассмотрев ограниченную последовательность

x(п) =

Если предположить, что условие (2) не удовлетворяется, т. е.

,

то согласно (1) при п = 0 отклик равен

y(0) = = = = .

Таким образом, последовательность у(0) не ограничена, так что неравенство (2.2) – необходимое условие устойчи­вости системы. Для доказательства достаточности предположим, что условие (2) выполняется, а на вход поступает ограничен­ная последовательность х(п),

|х(п)|  M.

Из (2.1) получаем

 y(п) =  

 M < .

Последовательность y(п) ограничена, поэтому система устой­чива, что и требовалось доказать. На рис.(6, а, б) даны примеры импульсных характеристик устойчивой и неустойчивой систем. Импульсная характеристика, приведенная на рис. (6, а), имеет вид h(п) = ⁿu_–1(п), причем 0 <  < 1, поэтому условие (2) удовлетворяется и система устойчива. Выражение для импульс­ной характеристики, представленной на рис. (6, б), имеет тот же вид, но  > 1, поэтому условие (2) не выполняется и система неустойчива.

Рис. 4. Примеры импульсных характеристик систем:

устойчивой – а) и неустойчивой – б)

Лекция 3

1. Частотные характеристики

В предыдущих главах рассматривался отклик линейных стационарных систем (ЛСС) на произвольные входные последовательности. Для описания ЛСС в частотной области удобно использо­вать специальный класс входных последовательностей, имеющих вид x(n) = e^jn. Этот класс последователь­ностей – набор собственных функций линейных стационарных систем ди­скретного времени, для них выходная последовательность сов­падает с входной последовательностью, умноженной на некоторый комплексный коэф­фициент, зависящий только от параметра .

Если последовательность

x(n)=e^{j n}; –<n <.

поступает на вход линейной стационарной системы с импульсной характеристикой h(п), то выходная последовательность

y(п) = = e^{j n}= x(п) H(e^j ). (1)

Таким образом, для входных последователь­ностей x(n) = e^jn отклик совпадает с воздействием с точно­стью до комплексного множителя H(e^j), который выражается через импульсную характеристику h(n) системы

H(e^j) =. (2)

Последовательность вида e^jn функционально экви­валентна дискретизированной синусоиде с частотой , поэтому множи­тель H(e^j) называют частотной характеристикой системы – он представляет коэффициент передачи линейной стационарной системы для каждого значения .

Рис.1. Импульсная и частотные характеристики

Пример 1. Вычислим частотную характеристику линейной стационарной системы с импульсной характеристикой

h(п) = a^пu_–1(п), (|a| < 1).

Частотная характеристика имеет вид

H(e^j) ==. (3)

Так как |а| < 1, то сумма геометрической прогрессии (4.3) сходится:

H(e^j) = .

На рис. 1 представлены графики: импульсной характеристики h(п) = a^пu_–1(п) при |a| < 1, модуля и фа­зы характеристики H(e^j) как функции частоты  в диапазоне 0   2.

Пример 1 иллюстрирует некоторые свойства частотной характеристики. Во-первых, частотная характеристика – перио­дическая функция частоты , причем период равен 2. Эта периодич­ность связана со спецификой дискретизованного колебания: входная последовательность с частотой ( + 2т) (т = ± 1, ± 2, ...) не отличается от входной последовательности с частотой , т. е.

= e^{j( + 2т)п} = e^{j п} = x(п).

Частотная характеристика H(e^j) – периодическая функция, поэтому для полного описания достаточно задать ее на любом интервале длиной 2. Обычно для этой цели используют интервал

0   2.

Другое важное свойство частотной характеристики – для действительных h(n) (как обычно и бывает на прак­тике) модуль функции H(e^j) симметричен, а фаза антисимметрична на интервале 0   2. Аналогично действительная часть функции H(e^j) симметрична, а мнимая – антисимметрична на том же интервале. Поэтому при действительных импульсных характери­стиках интервал частот, на котором задают частотную характери­стику, обычно сокращают до 0   .