Дискретные линейные системы

1. Общие сведения

Теория дискретных линейных систем связана с описанием и обработкой временных и частотных последовательностей. В дан­ной главе будем считать, что кван­тование элементов последовательности по уровню отсутствует. Предположение о бесконечно малом шаге квантования, отно­сящееся к отсчетам сигналов и коэффициентам линей­ных систем, использовано при изложении общей теории ди­скретных (во времени, но не по уровню) систем. Различные эффекты, возникающие в дискретных си­стемах с определенной точностью квантования по уровню из-за конечной длины слова, рассматриваются отдельно.

Операции по обработке сигналов могут быть выполнены путем моделирования на вычислительной машине или с помощью специализированных цифровых устройств, например – сигнальных процессоров. Структура вычислитель­ных устройств, предназначенных специально для обработки сигналов, а также способы аппаратурного построения эффективных цифро­вых систем определяются спецификой численных методов обработки случайных процессов.

2. Линейные системы с постоянными параметрами

Дискретную систему можно представить в виде алгоритма преоб­разования одной последовательности (входной) в дру­гую (выходную) – рис. 2.1. Входная последовательность х(п) и выходная у(п) функционально связаны соотношением у(п) = ф [х(п)] – здесь вид оператора ф(•) зависит от свойств конкретной системы.

Линейная система обладает свойством аддитивности: если х₁(п) и х₂(п) – некоторые входные последовательности, а у₁(п) и у₂(п) — соответствующие им отклики линейной системы, то при подаче на вход последовательности aх₁(п) + bх₂(п) на вы­ходе образуется последовательность aу₁(п) + bу₂(п), где a и b — произвольные постоянные.

ф(•)

х(п) y(п)

Рис. 2.1. Представление дискретной системы.

Система с постоянными параметрами характеризуется тем, что, если входной последовательности х(п) соответствует выход­ная последовательность у(п), то входной последовательности х(п – п₀) при любых п₀ соответствует на выходе последователь­ность у(п – п₀).

h(n)

х(п) y(п)

Рис.2.2. Линейная система с постоянными параметрами.

В линейной системе с постоянными пара­метрами входная и выходная последовательности связаны соотношением типа свертки. Допустим, что х(п) — входная, y(п) — выходная последовательности линейной стационарной системы и h(п) — отклик системы на единичный импульс.

Рис.3. Дискретная свертка

Последовательность h(п) на­зывают импульсной характеристикой системы или откликом на единичный отсчет.

Используя формулу (1.8), можно за­писать

х(п) = .

Поскольку h(п) – отклик системы на последователь­ность u₀(п), а параметры системы постоянны, то h(п – п₀) будет откликом на последовательность u₀(п – п₀). Из свойства линей­ности следует, что откликом на последовательность х(k)u₀(п – k) должна быть последовательность х(k)h(п – k). Поэтому отклик на х(п), равный

y(п) = , (1)

– имеет вид дискретной свертки. Простой заме­ной переменных равенство (2.1) может быть преобразовано к виду

y(п) = ,

Таким образом, последовательность h(п) полностью описывает дискретную ЛС–систему – рис. 2.4.

Рис. 2.5 иллюстрирует процесс вычисления свертки. Входная по­следовательность x(п) отлична от нуля при 0  п  4 – рис. 2.5, а). Импульсная характеристика h(п), отличная от нуля при 0  п  7, приведен на рис. 2.5, б). В этом примере

y(п) =

и выходная по­следовательность y(п) отлична от нуля при 0  п  10.

Последовательности х(k) и h(п – k) для п = 0, 2, 10 и 11 представлены на рис. 2.5, в…е). Очевидно, что при п < 0 и п > 11 последовательности х(k) и h(п – k) не перекрываются и y(п) равно нулю. На рис. 5, ж) приведена последовательность y(п) – искомая свертка.