Решение.

Это уравнение первого порядка является линейным, так как это удовлетворяет общему виду линейных уравнений . Будем искать решение в виде, где,- дифференцируемые функции от. Тогда. Подставляя,в данное уравнение, получим

или .

Приравняем нулю выражение, стоящее в скобках и получим уравнение с разделяющимися переменными или, или. Интегрируя обе части уравнения, находимили(Здесь полагают произвольную постоянную равной нулю). Откуда. Подставляя его уравнение, придем к его общему уравнению с разделяющимися переменнымиили, или, или, откуда.

А так как решение ищется в виде , то оно будет таким. Это- общее решение, в котором- произвольная постоянная. Решим теперь задачу Коши: из общего решения по заданным начальным условиям определим частное решение. Для этого подставим в общее решение начальные условия. Получимили, или, или, откуда. Подставляя это значение постоянной в общее решение, получим частное решениеудовлетворяющее начальным условиям.

Задача 15. Найти область сходимости степенного ряда.

Решение.

Область сходимости называется множество всех точек сходимости данного ряда. Найдем радиус и интервал сходимости.

.

Где . Радиус сходимости. Тогда интервал сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала.

1. Подставим в данный степенной ряд . Получим числовой ряд. Этот ряд является расходящимся, так как не выполняется необходимое условие его сходимости.

2. Подставляя в степенной ряд , получим знакочередующийся числовой ряд, который расходится по той же причине: его общий член пристремится к 1, а не к 0.

Итак, область сходимости данного степенного ряда .