Решение.

Пусть t-время, через которое, поле начала движения автомобиля и поезда, расстоянием MN = s между ними будет наименьшими. По теореме косинусов для треугольника MBN запишем равенство H0 MB = 200 – 80t, NB = 50t, cos600 =.

рис. 3.

Тогда получим уравнение ;

км.

Отсюда . Найдем первую производную поt:

. Приравнивая первую производную к нулю получимоткудаили- критическая точка.

Квадратный трехчлен под корнем в знаменателе в ноль не обращается ни при каких действительных значениях t, поскольку его дискриминант Д.

Легко видеть, что при переходе через критическую точку t₀ от меньших значений t к большим, например, от t = 1 до t = 2, первая производная меняет знак с минуса на плюс . Следовательно, t₀ = 1.6279 часа – точка минимума функции s. А так как других экстремумов эта функция не имеет, то в точке минимума функция имеет наименьшее значение: .

Задача 9. Найти частные производные и полный дифференциал функции

двух независимых переменных:

а)

Решение.

Найти частные производные ;. Составим полный дифференциал по формуле.

Получим .

б) .

Решение.

Найдем частные производные

.

Составим полный дифференциал

.

Задача 10. Найти экстремум функции

Решение.

Найдем частные производные:

и смешанную производную .

Необходимое условие экстремума: и

Решим систему уравнений x= 2y, 4y–y= -9,y= -3

x= -9

Итак, точка P(-9; -3) критическая точка. Составим выражениеи вычислим его значение в критической точкеP(-9; -3). Тогда, если, тоP- точка экстремума. При этом, если, то Р – точка минимума,

а если , то Р – точка максимума,

Если , экстремума нет, а если- экстремум может быть, а может не быть. Нужны дополнительные исследования.

Установим характер экстремума в точке P(-9; -3).

, следовательно, P(-9; -3)- точка экстремума, а так какнезависимо от координат точки Р, тоP(-9; -3) – точка минимума данной функции.

Задача 11. Найти неопределенные интегралы а) ,б) ,

в) , г), д).

Предлагаемые интегралы можно , применив основные методы

интегрирования; метод замены переменной подстановка, метод

интегрирования по частям.

Решение.

а) ;

Подстановка:. Найдем дифференциалы обеих частей подстановки

или . Произведем замену переменной в подынтегральном выражении и найдем интеграл .

б) .

В первом из интегралов, стоящих справа, введем подстановку . откудаили. Таким образом,.

Второй интеграл справа является табличным .

Итак, , где, две произвольные постоянные суммы неопределенных интегралов объединяют в одну.

в)

Подстановка:

Получим табличный интеграл типа . Возвращаясь к прежней переменной, будем иметь.

г) .Найдем его методом интегрирования по частям по формуле.

Примем ,.

В первом из этих двух равенств обе части дифференцируем, чтобы найти , а во втором интегрируем, чтобы найти. Получим,(здесь произвольную постоянную интегрирования принимаем равной нулю, поскольку достаточно хотя бы одного значения).

Применив формулу интегрирования по частям, получим

.

д) .Это интеграл от рациональной функции. Разложим подынтегральную функциюна простейшие дроби по известному правилу, предварительно разложив знаменатель дроби на множители. Тогда, гдеA,B,M,N– неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Приведя обе части последнего равенства к общему знаменателю, найдем

.

Такое равенство отношений с одинаковыми знаменателями возможны только в случае равенства числителей, то есть .

Приравнивая коэффициенты при xв одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений

Решение системы:

Переходим к интегрированию

!!.

Приведем две задачи геометрического характера, связанные с вычислениями определенного интеграла.

Задача 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

,(рис.2)

Решение. Фигура ОМА (рис.4) ограниченная данными линиями, состоит из двух частей ОМВ и ВМА, представляющих собою частные случаи криволинейных трапеций, ограниченных сверху кривой наи примойна. Таким образом искомая площадь вычисляется с помощью определенного интеграла как сумма двух площадей по формуле

рис. 4.

Определенные интегралы вычисляются по ф>рмуле Ньютона-Лейбница . Итак, площадь ОМА равна

.

Задача 13. Вычислить объем тела, полученного в результате вращения

вокруг оси фигуры, ограниченной линиями,,

, . (рис. 5).

Решение. Объем тела вращения находим по формуле

рис. 5.

Задача 14. Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

при.