Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Челябинский государственный педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторные работы по метрологии

.pdf

Скачиваний:

125

Добавлен:

12.04.2015

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Практическое занятие № 4

ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ И МЕТОДЫ ИХ ИСКЛЮЧЕНИЯ

Грубая погрешность, или промах – это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. При однократных измерениях обнаружить промах невозможно. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, такие как критерий Романовского, критерий Шарлье, критерий Диксона.

Критерий Романовского

Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение

(xi x )

где xi – проверяемое значение; x – среднее арифметическое значение

изм еряем о й величин ы ; Sx				– среднее квадратическое отклонение.
Далее расчетноезначение Ε сравнивается с критерием Εт, выбран-
ным по табл. 10. Если Ε τ Εт, то результат xi считается промахом и от-
брасывается.
		ЗначениякритерияРомановского = f(n)							Таблица10
		ЗначениякритерияРомановского = f(n)

	q	n = 4	n = 6		n = 8	n = 10	n = 12	n = 15		n = 20
	0,01	1,73	2,16		2,43	2,62	2,75	2,90		3,08
	0,02	1,72	2,13		2,37	2,54	2,66	2,80		2,96
	0,05	1,71	2,10		2,27	2,41	2,52	2,64		2,78
	0,10	1,69	2,00		2,17	2,29	2,39	2,49		2,62

Пример решения

При шестикратном измерении расстояний между ориентирами осей здания получены следующие результаты: 25,155; 25,150; 25,165; 25,165; 25,160; 25,180 м. Последнийрезультатвызываетсомнения. Производим проверку по критерию Романовского, не является ли он промахом.

Найдем среднее арифметическое значение

	1	n	150,975
x		¦xi		25,163 м.
			6
	n i 1

Определяем среднее квадратическое отклонение. Для удобства вычислений составим табл. 11.

Таблица11

Обработкарезультатовизмерений

№			xi	xi x		(x x)2
п/п						i
1			25,155	–0,008		0,000064
2			25,15	–0,013		0,000169
3			25,165	0,002		0,000004
4			25,165	0,002		0,000004
5			25,16	–0,003		0,000009
6			25,18	0,017		0,000289
		1
	x		n		n	x)2 0,000539
	x		¦xi 25,163 м		¦(xi	x)2 0,000539
		n i 1			i 1
					i 1

Оценка СКО: Sx n11 ¦(xi x)2 0,0107 м.

i 1

Вычисляем Ε для сомнительного результата

Ε	(xi x )		0,017	1,58.


	Sx	0,0107

Критическое значение Ε при уровне значимости 0,05 и n = 6 составляет 2,1. Поскольку 1,58 < 2,1, результат не является промахом и не исключается из результатов измерений.

Критерий Шарлье

Критерий Шарлье используется, если число измерений велико (n > 20). Пользуясь данным критерием, отбрасывается результат, для значения которого выполняется неравенство

xi x ! Kш Sx .

Пример решения

При измерениирасстояниймеждуколоннамибылиполученыследующие результаты (табл. 12).

	Обработкаисходныхданных		Таблица12
	Обработкаисходныхданных

№ п/п	xi	xi x	(xi x)2

1	23,67	0	0
2	23,68	0,01	0,0001
3	23,66	–0,01	0,0001
4	23,67	0	0
5	23,67	0	0
6	23,68	0,01	0,0001
7	23,67	0	0
8	23,68	0,01	0,0001
9	23,67	0	0
10	23,68	0,01	0,0001
11	23,66	–0,01	0,0001
12	23,67	0	0
13	23,67	0	0
14	23,68	0,01	0,0001
15	23,68	0,01	0,0001
16	23,68	0,01	0,0001
17	23,67	0	0
18	23,68	0,01	0,0001
19	23,68	0,01	0,0001

															Окончаниетабл. 12

			№ п/п					xi					xi x				(xi x)2

		20					23,67					0						0
		21					23,68					0,01				0,0001
		22					23,67					0						0
		23					23,67					0						0
		24					23,67					0						0
		25					23,68					0,01				0,0001
		26					23,66						–0,01			0,0001
		27					23,68					0,01				0,0001
		28					23,67					0						0
		29					23,67					0						0
		30					23,68					0,01				0,0001
						x	23,67									¦		0,0016
				Обработка результатов измерений
									1		n			0,0016
	Находим СКО Sx								1		¦(xi x)2			0,0016				0,0074 м.
	Находим СКО Sx										¦(xi x)2			29				0,0074 м.
									n 1 i 1					29
	Проверяем сомнительный результат измерения – 23,66. Для этого
значения не выполняется неравенство													xi x		! Kш Sx, где				Kш = 2,13
значения не выполняется неравенство

(табл. 13), т. е.				23,66 23,67						2,13 0,0074. Таким образом, проверяе-
(табл. 13), т. е.				23,66 23,67						2,13 0,0074. Таким образом, проверяе-
мое значение 23,66 не является промахом и не отбрасывается.
						ЗначениякритерияШарлье													Таблица13
						ЗначениякритерияШарлье

	n		5		10			20				30		40				50		100
	Kш		1,3		1,65			1,96				2,13		2,24				2,32		2,58

Критерий Диксона

При использовании данного критерия полученные результаты измерений записываются ввариационный возрастающий ряд x1 < x2 < … < xn. Расчетное значение критерия определяется как

KД	xn xn 1			.
	x	n	x
			1

В случае, если расчетное значение критерия будет больше критического значения Zq, то проверяемое значение считается промахом и отбрасывается. Критические значения критерия приведены в табл. 14.

	Значения критерия Диксона			Таблица14
	Значения критерия Диксона

n		Zq при q, равном
n	0,1	0,05	0,02	0,01
4	0,68	0,76	0,85	0,89
6	0,48	0,56	0,64	0,7
8	0,4	0,47	0,54	0,59
10	0,35	0,41	0,48	0,53
14	0,29	0,35	0,41	0,45
16	0,28	0,33	0,39	0,43
18	0,26	0,31	0,37	0,41
20	0,26	0,3	0,36	0,39
30	0,22	0,26	0,31	0,34

Пример решения

Было произведено шесть измерений расстояний между сваями.

Получены следующие результаты: 25,1; 25,2; 24,9; 25,6; 25,1; 25,2 м.

Результат 25,6 м существенно отличается от остальных. Произведем проверку, не является ли он промахом.

Составим вариационный возрастающий ряд из результатов измерений: 24,9; 25,1; 25,1; 25,2; 25,2; 25,6 м. Длякрайнегочлена этогоряда 25,6 м расчетный критерий Диксона

KД	25,6 25,2		0,57.
	25,6	24,9

Как следует из табл. 14, по этому критерию результат 25,6 м может быть отброшен как промах при уровне значимости q = 0,05.

Задание

Определить наличие грубых погрешностей в результатах измерений, используя данные табл. 15.

Практическое занятие № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

1. Исключение известных систематических погрешностей из результатов наблюдений или измерений выполняем введением поправок к этим результатам.

Поправки по абсолютному значению равны этим погрешностям и противоположны им по знаку.

2. Введением поправок исключаем:

погрешность, возникающую из-за отклонений действительной температуры окружающей среды при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую из-за отклонений атмосферного давления при измерении от нормального;

погрешность, возникающую из-за отклонений относительной влажности окружающего воздуха при измерении от нормальной;

погрешность, возникающуюиз-заотклоненийотносительнойско- рости движения внешней среды при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую вследствие искривления светового луча (рефракции);

погрешность шкалы средства измерения; погрешность, возникающую вследствие несовпадения направле-

ний линии измерения и измеряемого размера.

3. Поправки по указанным погрешностям вычисляем в соответствии с указаниями табл. 16.

Обозначения, принятые в таблице: L – непосредственно измеряемый размер, мм; lном – номинальная длина мерного прибора, мм;

li – действительная длина мерного прибора, мм; l li lном; 1, 2 – коэффициенты линейного расширения средства измерения и объекта, 10–6 град–1; t1,t2 – температура средства измерения и объекта, °С;

h – величина отклонения направления измерения от направления измеряемого размера, мм; Q – предельное значение допустимой силы ветра, Н; Р – сила натяжения мерного прибора (рулетки, проволоки), Н.

									Таблица16
	Поправкидляисключениясистематическихпогрешностей

	Наименование поправок	Указания по определению поправок
	1. Поправка на темпера-	Τxкор,t		L> 1 t1 20 θC 2 t2 20 θC
	туру окружающейсреды
	2. Поправка на атмо-	Определяется при применении электронно-
	сферное давление	оптических средств измерений в соответствии
		с эксплуатационной документацией
	3. Поправка на относи-	Τxкор,w определяется
	тельную влажность окру-	а) при	применении		электронно-оптических
	жающего воздуха	средств измерений в соответствии с эксплуата-
		средств измерений в соответствии с эксплуата-
		ционной документацией;
		б) при измерении объектов, изменяющих раз-
		меры в зависимости от влажности воздуха в со-
		ответствии со свойствами материала
	4. Поправка на относи-			Τxкор,c		Q2lном
	тельную скорость внешней					24P2
	среды
	среды
	5. Поправка на длину			Τxкор,l		L		l
	шкалы средства измерения			Τxкор,l				l
	шкалы средства измерения					lном
	6. Поправка на несовпа-			Τxкор,h			h2
	дение направлений линии
	дение направлений линии						2L
	измерения и измеряемого						2L
	измерения и измеряемого
	размера
	7. Поправка на рефрак-	Τxкор,r	определяется при применении оптиче-
	цию	ских или		электронно-оптических приборов
		в зависимости от условий измерения по специ-
		альной методике
	4. Поправкимогутневноситься, еслидействительнаяпогрешность
измерения не превышает предельной.
		Пример

Определить систематические погрешности и записать результат с учетом различных параметров.

Полученрезультатизмерениядлиныстальнойфермыxi = 24 003 мм. Измерение выполнялось трехметровой рулеткой из нержавеющей ста-

ли при t = –20 °С. При этом	1	= 20,5 10–6,	2	= 12,5 10–6, t	1	= t	2	= –20 °С,
	1		2		1		2

lном = 3000 мм, li = 3002 мм, h = 35 мм, P = 9 Н, Q = 1,2 Н.

Решение

1. Поправка на температуру окружающей среды

Τxкор,t L> 1 t1 20 θC 2 t2 20 θC =

= –24 003 [20,5 10–6(–20 – 20) – 12,5 10–6(–20 – 20)] | 7,7 мм.

Действительную длинуxi фермы сучетом поправкина температуру окружающей среды принимаем равной

xi Τxкор,t = 24 003 + 7 7 = 24 010 7 мм.

2. Поправка на относительную скорость внешней среды

Τxкор,c	Q2lном	1,22 3000		2,22 мм.
	24P2		24 92

Действительную длину xi фермы с учетом поправки на относительную скорость внешней среды принимаем равной

xi Τxкор,c = 24 003 + 2 22 = 24 005 22 мм.

3. Поправка на длину шкалы средства измерения

		Τx		L		l .
		Τx				l .
			кор,l	lном
				lном
l	li lном 3002 3000 2 мм.
Τx	кор,l		24 003	2	16,002 мм.
Τx		3000		2	16,002 мм.

Действительнуюдлинуxi фермысучетомпоправкинадлинушкалы средства измерения принимаем равной

xi Τxкор,l = 24 003 + 16 002 = 24 019 002 мм.

4. Поправка на несовпадение направлений линии измерения и измеряемого размера

Τxкор,h	h2		352	0,025 мм.
	2L	2 24 003

Действительную длину xi фермы с учетом поправки несовпадения направлений линии измерения и измеряемого размера принимаем равной

xi Τxкор,h = 24 003 + 0 025 = 24 003 025 мм.

Действительную длину xi фермы с учетом всех поправок принимаем равной

xi Τxкор,t Τxкор,c Τxкор,l Τxкор,h =

= 24 003 + 7 7 + 2,22 + 16,002 + 0,025 = 24 028 9 мм.

Задание

Определить систематические погрешности и записать результат с учетом различных параметров. Данные результатов измерений приведены в табл. 17.

Таблица17

			Исходныеданные

Вари-	L, мм	lном, мм	li, мм	t, θС	t1 = t2, θС	h, мм	P, H	Q, Н
ант
1	17 983	3000	3001	–15	–15	27	8	0,7
2	13 005	3000	3002	13	13	32	12	0,3
3	24 153	3000	3001	24	24	15	10	1,5
4	59 670	10 000	10 001	–19	–19	39	9	0,9
5	40 309	5000	5002	7	7	21	11	0,2
6	28 012	3000	3001	9	9	24	7	1,2
7	45 180	5000	5001	4	4	40	12	0,4
8	67 000	10 000	10 002	–8	–8	11	7	1,4
9	31 500	5000	5002	–12	–12	18	12	1,3
10	18 021	3000	3000	–3	–3	35	10	0,6
11	12 908	10 000	10 002	–4	–4	28	9	1,1

						Окончаниетабл. 17

Вари-	L, мм	lном, мм	li, мм	t, θС	t1 = t2, θС	h, мм	P, H	Q, Н
ант
12	23 061	5000	5001	11	11	12	11	0,8
13	60 054	3000	3001	8	8	31	10	0,3
14	40 720	5000	4999	–7	–7	19	9	1,5
15	28 030	10 000	10 001	24	24	26	11	0,9
16	45 002	3000	3003	–19	–19	13	7	0,2
17	66 002	10 000	10 004	7	7	34	12	1,2
18	31 207	5000	5002	9	9	23	10	0,4
19	23 948	3000	3002	4	4	17	9	1,4
20	60 376	5000	5001	–8	–8	38	11	0,6
21	28 012	10 000	10 001	–12	–12	25	8	1,1
22	45 180	5000	5002	–3	–3	33	12	0,8
23	67 000	3000	3002	–4	–4	16	10	0,3
24	31 500	10 000	10 003	–15	–15	30	9	1,5
25	18 021	5000	5001	13	13	22	11	0,9
26	12 908	3000	3001	24	24	37	7	0,2
27	23 061	5000	5002	–19	–19	29	12	1,2
28	60 054	10 000	10 002	7	7	20	11	0,4
29	40 720	5000	5001	9	9	36	7	1,4
30	28 030	3000	3001	4	4	10	12	1,2
31	45 002	10 000	10 002	–8	–8	34	10	0,4
32	66 002	5000	5002	–12	–12	23	9	1,4
33	31 207	3000	3001	–3	–3	17	11	1,3
34	23 948	10 000	10 001	–4	–4	38	8	0,6
35	60 376	3000	3001	–5	–5	25	10	1,1

Практическое занятие № 6

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВИДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Для предварительной оценки вида распределения по полученным данным строят гистограмму распределений или полигон распределения. Вначалепроизводитсягруппирование– разделениеданныхотнаименьшего xmin до наибольшего xmax на r интервалов. Для количества измерений от 30 до 100 рекомендуемое число интервалов 7–9. Ширину интервала выбирают постоянной для всего ряда данных, при этом следует иметь в виду, что ширина интервала должна быть больше погрешности округления при записи данных. Ширину интервала вычисляют по формуле

h	xmax xmin	.

	r

Вычисленное значение h обычно округляют. Например, при h = 0,0187 это значение округляют до h = 0,02. Установив границы интервалов, подсчитываютчислорезультатовизмерений, попавшихвкаждый интервал. При построении гистограммы или полигона распределения масштаб этих графиков рекомендуется выбирать так, чтобы соотношение высоты графика к его основанию было примерно 3 : 5.

Пример

Построить гистограммуи полигон распределения по полученным экспериментальным данным, приведенным в табл. 18.

Определяем ширину интервала

h	xmax xmin	25,08	25,01	0,01 мм.
	r		7

Строим гистограмму распределений (рис. 1), подсчитав число экспериментальных данных, попавших в каждый интервал.

			Таблица18
	Результатыизмерений

№	xi	№	xi
п/п	xi	п/п	xi
п/п		п/п
1	25,04	21	25,04
2	25,05	22	25,05
3	25,04	23	25,06
4	25,06	24	25,03
5	25,05	25	25,06
6	25,01	26	25,05
7	25,07	27	25,05
8	25,05	28	25,04
9	25,03	29	25,06
10	25,05	30	25,05
11	25,03	31	25,04
12	25,06	32	25,05
13	25,07	33	25,06
14	25,05	34	25,05
15	25,06	35	25,05
16	25,03	36	25,04
17	25,07	37	25,06
18	25,08	38	25,05
19	25,06	39	25,06
20	25,05	40	25,05

16
12
8
4
25,00	25,01	25,02	25,03	25,04	25,05	25,06	25,07	25,08	мм

Рис. 1. Гистограмма распределенийрезультатовизмерений

Далее строим полигон распределения (рис. 2), который представляет собой кусочно-линейную аппроксимацию искомой функции плотности распределения результатов измерения.



25,00	25,01	25,02	25,03	25,04	25,05	25,06	25,07	25,08	мм

Рис. 2. Полигонраспределения результатовизмерения

Практическое занятие № 7

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Нормальныйзаконраспределения, называемыйчастораспределением Гаусса, описывается зависимостью

p(x)	1	ª	(x x)2 º
		exp «	2V2	»	,
	V 2S
		¬		¼

где V– параметр рассеивания распределения, равный среднемуквадратическому отклонению.

Широкое использование нормального распределения на практике объясняется теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

При количестве измерений n < 10 проверить гипотезу о виде распределения результатов измерения невозможно.

При числе данных 10 < n < 50 также трудно судить о виде распределения. Поэтому для проверки соответствия распределения данных нормальному распределению используют составной критерий. Если гипотеза о нормальности отвергается хотя бы по одному из критериев, считают, чтораспределениерезультатовизмеренияотличноотнормального.

Критерий 1. Вычисляют значение d по формуле

¦ xi x

d	i	1	,
		n S*

где S* – смещенное СКО;

¦(xi x)2

S*	i 1		.
		n

Гипотеза о нормальности подтверждается, если d1 q d dq ,

где d1 q и dq процентные точки распределения значений d, которые находятся по табл. 19.

Таблица19

Значенияпроцентныхточекq дляраспределенияd

Уровень				Число результатов измерений
значимости q, %		11	16	21	26	31	36	41	46
1– q/2	99,0	0,67	0,68	0,69	0,70	0,71	0,72	0,72	0,72
1– q/2	95,0	0,72	0,72	0,73	0,74	0,74	0,74	0,75	0,75
	90,0	0,74	0,74	0,75	0,75	0,76	0,76	0,76	0,76
q/2	10,0	0,89	0,87	0,86	0,86	0,85	0,85	0,84	0,84
	5,0	0,91	0,89	0,88	0,87	0,86	0,86	0,85	0,85

Критерий 2. Гипотеза о нормальности распределения результатов измерения подтверждается, если не более m разностей (xi x) пре-

	n
	¦(xi x)2
взошли значения S zp/2. Здесь S	i 1	;	zp/2 – верхняя 100 P/2 –
взошли значения S zp/2. Здесь S	n 1	;	zp/2 – верхняя 100 P/2 –
	n 1

процентная точка нормированной функции Лапласа. Значения доверительной вероятности P выбирают из табл. 20.

Таблица20

ЗначениядоверительнойвероятностиР

n		10	11–14	15–20	21–22	23	24–27	28–32	33–35	36–49

m		1	1	1	2	2	2	2	2	2
q/2 100 %	1,00	0,98	0,99	0,99	0,98	0,98	0,98	0,99	0,99	0,99
q/2 100 %	2,00	0,98	0,98	0,99	0,97	0,98	0,98	0,98	0,98	0,99
	5,00	0,96	0,97	0,98	0,96	0,96	0,97	0,97	0,98	0,98

Пример

В табл. 21 приведены результаты измерения угла одним оператором, одним и тем же теодолитом, в одних и тех же условиях. Проверить, можно ли считать, что приведенные в табл. 21 данные принадлежат совокупности, распределенной нормально.

				Таблица21
	Результатыисследований

	xi	xi x		(x x)2
				i
	17θ56΄45,00˝	4,301˝		18,498601
	17θ56΄36,25˝	– 4,449˝		19,793601
	42,50˝	1,801˝		3,243601
	45,00˝	4,301˝		18,498601
	37,50˝	– 3,199˝		10,233601
	38,33˝	– 2,369˝		5,612161
	37,50˝	– 3,199˝		10,233601
	43,33˝	2,631˝		6,922161
	40,63˝	– 0,069˝		0,004761
	36,25˝	– 4,449˝		19,793601
	42,50˝	1,801˝		3,243601
	39,17˝	– 1,529˝		2,337841
	45,00˝	4,301˝		18,498601
	40,83˝	0,131˝		0,017161
	∑ = 569,786˝	∑ = 38,530˝		∑ =136,931497
Оценка измеряемой величины равна
	x x0 a	17$56c 40,699cc	17$56c40,70cc.

Средние квадратические отклонения S и S* найдем по формулам

		n	x)2
	¦(xi		x)2	136,931497		cc
S	i 1			136,931497		cc
						\| 3,245 ,
		n 1		13		\| 3,245 ,
		n 1		13
		n	x)2
S *		¦(xi	x)2	136,931497
		i 1		136,931497		\| 3,127cc.
			n		14	\| 3,127cc.
			n		14

Оценка параметра d составит

	n
	¦	xi x		38,530
	¦	xi x
d	i 1				0,8798	\| 0,88.
d	n S*		14 3,13		0,8798	\| 0,88.
	n S*		14 3,13

Уровень значимости критерия 1 примем q = 2 %. Из табл. 19 находимd1% = 0,92 иd99% = 0,68. Приопределенииd1% иd99% использовалась линейная интерполяция ввиду того, что значение n = 14 в таблице от-

сутствует. Критерий 1 выполняется, так как d1 q d dq . В нашем

случае 0,68 < 0,88 < 0,92.

Применим критерий 2. Выбрав уровень значимости q = 0,05 для n =14 изтабл. 11, найдемР= 0,97. Изтабл. 22 определимzp/2 = 2,17. Тогда

S zp/2 = 3,245 2,17 = 7,042.

Таблица22

ЗначенияР-процентныхточекнормированнойфункцииЛапласа

Р 100 %	90	95	96	97	98	99

zp/2	1,65	1,96	2,06	2,17	2,33	2,58

Согласно критерию 2, не более одной разности xi x может пре-

взойти7,042. Изданныхтабл. 21 следует, чтониодноотклонение xi x

не превосходит 7,042.

Следовательно, гипотеза о нормальности распределения данных подтверждается. Уровень значимости составного критерия: q d 0,02 + + 0,05 = 0,07, т. е. гипотеза о нормальности распределения результатов измерения подтверждается при уровне значимости не более 0,07.

Задание

Произвести проверку нормальности распределения измерений по данным, приведенным в табл. 23.

Таблица23

Исходныеданные

Окончаниетабл. 23

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лаб раб

#
12.04.201517.79 Кб67Лаб раб 1. Метрология.docx
#
12.04.201517.84 Кб42Лаб раб 2. Метрология.docx
#
12.04.201517.87 Кб35Лаб раб 3. Метрология.docx
#
12.04.20151.04 Mб125Лабораторные работы по метрологии.pdf