Решением этого уравнения является выражение вида

=_o sin(t +).

Решая дифференциальное уравнение второго порядка, для периода колебаний физического маятника можно получить

,

где L=I/md – приведенная длина физического маятника.

В рассматриваемом случае момент инерции физического маятника определяем по теореме Штейнера:

I=I₀+mr²,

где I=mℓ²/12 – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести;

r=ℓ/2 – расстояние от одного из концов стержня до центра тяжести.

Подставив значения I и r для момента инерции стержня, будем иметь:

I=mℓ²/12+mℓ²/4=mℓ²/3.

По условию задачи d=ℓ/2. Тогда период колебаний стержня

.

Размерность полученного результата очевидна. Подставляя численные значения величин, входящих в формулу, и произведя вычисления, определяем период колебаний стержня:

T=23,14(20,3/39,8)^1/2=0,9 (с).

Ответ: T=0,9 с.

1.2.12.Материальная точка массой 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x=0,2 sin8t. Найти возвращающую силу в момент времени t=0,1 с.

Решение. Так как материальная точка совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением:

F_в=-kx,

где k – коэффициент квазиупругой силы;

x=0,2sin8t – смещение колеблющейся точки.

Коэффициент k выразим через круговую или циклическую частоту:

k=m².

Подставив значения x и k в формулу возвращающей силы, будем иметь

F_в=m² x=m² Asint.

Проверив размерности левой и правой частей уравнения, подставив численные значения, произведем вычисления:

F=0,01643,14² 0,2sin(0,83,14)=0,75 (Н).

Ответ: F=0,75 Н.

1.2.13. Диск радиусом 10 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить период и частоту колебаний такого физического маятника.

Решение. Такой диск можно рассматривать как некоторый физический маятник.

Уравнение движения физического маятника имеет вид:

I+mgℓ=0,

где m – масса физического маятника;

I – его момент инерции относительно оси колебаний;

ℓ – кратчайшее расстояние между осями, одна из которых параллельно данной и проходит через центр тяжести;

 – угол отклонения маятника от положения равновесия.

Решением этого уравнения является выражение вида

=₀ sin(t+).

Решая дифференциальное уравнение второго порядка, для периода колебаний физического маятника можно получить

,

где I/md – приведенная длина физического маятника.

В рассматриваемом случае момент инерции физического маятника определяем по теореме Штейнера:

I=I₀+ma²,

где I₀=mR²/2 – момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр тяжести;

a=R/2 – расстояние между осями.

Подставив значения I и а для момента инерции диска, будем иметь:

I=mR²/2+mR²/4=3mR²/4.

Тогда период колебаний диска

,

а частота

.

Размерность полученного результата очевидна. Подставляя численные значения величин, входящих в формулу, и произведя вычисления, находим период и частоту колебаний диска:

T=6,28(30,1/29,8)^1/2=1,07 (с);

=1/T=1/1,07=0,94 Гц.

Ответ: T=1,07 с,  =0,94 Гц.

1.2.14. Два маховика, выполненные в виде дисков радиусом 0,4 м и имеющие массу 100 кг каждый, раскручены до скорости вращения 480 об/мин и предоставлены самим себе. Под действием трения валов о подшипники первый маховик остановился через 1 мин 20с; второй маховик до полной остановки сделал 240 оборотов. Определить моменты сил трения вала о подшипники у каждого маховика и сравнить их между собой.

Решение. 1. Найдем момент сил трения, действующий на первый маховик. Для этого воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде

М₁t=I₂-I₁,

где M₁ – вращающий момент (в данном случае искомый момент силы трения);

t – время действия вращающего момента;

I – момент инерции маховика;

₁ – начальная угловая скорость вращения маховика;

₂– его конечная угловая скорость.

Решая это уравнение относительно M, получим:

.

С учетом того, что I=mR²/2, ₁=2₁, ₂=0 окончательно имеем:

.

Подставим в полученное выражение числовые значения входящих в него величин и произведем вычисления, получим:

Знак "минус" показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие.

2. Найдем момент сил трения, действующих на второй маховик. Для этого воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде

M₂=I,

где M₂ – момент сил трения;

I – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через его геометрический центр;

 – угловое ускорение.

Момент инерции диска можно определить по формуле

I=mr²/2.

Для определения углового ускорения воспользуемся кинематическими уравнениями, характерными для замедленного движения:

=₀-t;

=₀t-t²/2,

где ₀– угловая скорость маховика до начала действия сил торможения;

=0 – конечная угловая скорость маховика (он остановился);

 – угловое расстояние, пройденное маховиком до полной остановки.

Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными  и t для , получим

=₀²/2.

Подставляя I и  в ранее полученную формулу для момента сил торможения, окончательно будем иметь:

M₂=mR²₀²/4,

где =2N, т.е.

M₂=mR²₀²/8N.

Размерность полученного результата очевидна. Подставим в полученное для M₂ выражение числовые значения входящих величин, произведем вычисления:

M₂=1000,165050/83,14240=6,64 (Нм).

Знак «+» означает, что действительно вращательное движение в данном случае является замедленным.

Чтобы сравнить полученные значения моментов сил трения, найдем отношение их абсолютных значений

M₂/M₁=6,64/5=1,33.

Таким образом, момент сил трения, действующий на второй маховик, в 1,33 раз больше, чем на первый.

Ответ: M₁=-5 Нм; M₂=-6,64 Нм; M₂/M₁=1,33.