3.3. Примеры решения задач

3.3.1.Виток медной проволоки охватывает сердечник трансформатора. Вследствие изменения силы тока в обмотке трансформатора магнитный поток внутри сердечника равномерно изменяется со скоростью 30 Вб/с. К точкам А,В, которые делят виток на два участка, подключается вольтметр. Определить его показания. Считать сопротивление витка ничтожно малым по сравнению с сопротивлением вольтметра.

Решение.В задачах электростатики и постоянного тока вольтметром измеряется разность потенциалов точек, к которым он подключен. В данном случае изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля с замкнутыми линиями векторов E иD. Поэтому понятие потенциала здесь теряет смысл, поскольку работа по перемещению заряда по замкнутому контуру в таком поле не равна нулю.

Пусть вольтметр сначала включен в положение 1. При этом контуры Al₁Bl₂A, AVBl₂A пронизываются переменным магнитным потоком и в каждом из них должна возникать одна и та же ЭДС электромагнитной индукции, равная

E=-dФ/dt=30 В.

Следовательно, по всем проводникам, в том числе и вольтметру, должен течь индукционный ток.

Показание вольтметра всегда пропорционально проходящему через него току, т.е. U=I_vR_v, где U – напряжение на участке цепи, которым является сам вольтметр, равное линейному интегралу напряженности E_стэлектрического поля, взятому вдоль данного участка.

Величину I_vR_vнайдем, применив правила Кирхгофа для разветвленных цепей. По первому правилу Кирхгофа для узла А имеем:

I₁+I_v=I₂. (1)

Выбрав направление обхода контуров по часовой по часовой стрелке, получим согласно второму правилу Кирхгофа соответственно для контуров Al₁Bl₂A и AVBl₂A, учитывая, что сквозь последний контур магнитный поток не проходит:

I₁R₁+I₂R₂=E, (2)

I_vR_v – I₁R₁=0. (3)

Из последнего уравнения находим показание вольтметра:

U=I_vR_v=I₁R₁. (4)

Таким образом, измеряя напряжение на самом себе, вольтметр измеряет также напряжение на том участке витка, с которым он образует контур не пронизываемый магнитным потоком.

Если известны R₁, R₂, R_v, E, то, решив систему (1), (2), (3), найдем все токи и показания вольтметра. В условии задачи эти величины не даны, зато выполняются соотношения: R_v>>R₁, R_v>>R₂. Они позволяют пренебречь силой тока Iv в цепи вольтметра, по сравнению с величинами I₁, I₂. Тогда из уравнений (1), (2) получим

I₁=I₂=I=E/(R₁+R₂).

Подставив это значение I₁в формулу (4) и учитывая, что сопротивление проволоки пропорционально ее длине, найдем

=10 В

Когда вольтметр включен в положение 2, он измеряет напряжение на участке Bl₂A ( так как с ним образует контур, не пересекаемый магнитным потоком). Следовательно,

U'=I₂R₂=E – I₁R₁=20 В.

Таким образом, в случае индукционных токов показания вольтметра зависят не только от положения точек, к которым он подключен, но и от расположения самого прибора.

3.3.2. По длинному соленоиду с немагнитным сердечником сечением S=5,0 см², содержащему N=1200 витков, течет ток силой I=2,00 А. Индукция магнитного поля в центре соленоида B=10,0 мТл. Определить его индуктивность.

Решение. Задача решается двумя способами.

1. Индуктивность длинного соленоида выражается формулой:

, (1)

где n=N/– число витков, приходящихся на единицу длины соленоида;

S – площадь его поперечного сечения;

V – его объем.

Длину соленоида можно определить, воспользовавшись формулой

B=₀NI/,

откуда

=₀NI/B.

Подставив это значение l в (1) и произведя сокращения, получим:

L=NBS/I. (2)

Выразив входящие в формулу величины в единицах системы СИ, выполним вычисления:

L=12001,0010^-25,010^-4/2,00=3,010^-3Гн.

2. Задачу можно решить, исходя из общего определения индуктивности контура, как коэффициента пропорциональности между силой тока в нем и собственным магнитным потоком сквозь контур:

Ф=LI, (3)

где Ф=NФ' – потокосцепление (полный магнитный поток) – сумма потоков Ф', проходящих сквозь каждый виток соленоида.

В рассматриваемом случае Ф=NBS. (4)

Подставив (4) в (3), для индуктивности соленоида, будем иметь:

L=NBS/I,

что совпадает с (2).

Ответ: L=3,010^-3Гн.

3.3.3. На стальном ненамагниченном кольце (торе), средний диаметр которого d=30 с и площадь поперечного сечения S=1,6 см², имеется обмотка, содержащая N=800 витков. Когда по обмотке пустили ток силой I=1,80 А, то баллистический гальванометр (индуктивно связанный с рассматриваемой цепью) дал отброс, соответствующий заряду, прошедшему через прибор, q=0,24 мКл. Зная, что сопротивление цепи гальванометра R=0,80 Ом, определить напряженность поля H и магнитную индукцию B внутри кольца, намагниченность кольца, а также магнитную проницаемость стали при данном токе в обмотке. Считать зависимость B от H для данного сорта стали неизвестной.

Решение. Когда по обмотке тороида пойдет ток, в стальном кольце возникнет магнитное поле, замкнутые линии индукции которого будут проходить вдоль кольца. Это поле будет результирующим двух полей: тока и теперь уже намагниченного материала кольца. Однако напряженность магнитного поля H внутри кольца зависит только от тока в обмотке тороида. Действительно, применив теорему о циркуляции вектора H, где в качестве контура интегрирования возьмем среднюю длину окружности кольца l=d, и учитывая, что в силу соображений симметрии во всех точках этого контура должно быть

H=const, (1)

получим

H=NI,

Откуда

H=NI/=NI/d. (2)

Из формулы видно, что H зависит от d, а поэтому будет различной в различных точках одного и того же тороида, расположенных на различных расстояниях от центра. Однако, учитывая числовые значения величин d, S, видим, что относительное различие между наружным и внутренним диаметрами кольца мало, поэтому приближенно можно считать, что формула (2) выражает величину H для всех точек кольца.

Чтобы вычислить магнитную индукцию, воспользуемся простой в данном случае связью между величиной B и магнитным потоком Ф внутри тороида

Ф=BS. (3)

При включении тока магнитный поток в тороиде возрос от нуля до значения, равного Ф, что привело к появлению индукционного тока в контуре баллистического гальванометра, сцепленном с магнитным потоком. Заряд q, прошедший по этому контуру, определяется соотношением

q=– Ф/R,

откуда (опуская знак "-") имеем

Ф=Ф=qR. (4)

Из формул (3), (4) следует, что

B=qR/S. (5)

Теперь, зная величины B, H, легко ответить на остальные вопросы задачи. Из соотношений H=B/_o–Jи B=_oH, с учетом (1), (4) получим:

J=B/₀– H=qR/₀– NI/d; (6)

=B/_oH=qRd/_oSNI. (7)

Выразив величины, входящие в полученные соотношения, в единицах системы СИ, подставив их в формулы (2), (5) – (7) и выполнив вычисление, получим:

H=1,510³А/м; B=1,2 Тл; J=1,010⁶А/м;=610².

Ответ: H=1,510³А/м; B=1,2 Тл; J=1,010⁶А/м;=610².

3.3.4. При выключении тока в обмотке тороида в цепи, предыдущей задачи, через баллистический гальванометр прошел заряд q'=80 мкКл. Используя условие предыдущей задачи, определить остаточную намагниченность J' стального кольца, а также остаточную индукцию и напряженность поля внутри кольца после исчезновения тока в обмотке.

Решение. Неизвестные величины будем находить в той же последовательности, что и в предыдущей задаче. Повторив приведенные там рассуждения, снова придем к соотношению (2). Но теперь I=0. Следовательно,

H=NI/d=0.

Чтобы определить остаточную индукцию B' внутри кольца, воспользуемся уравнением для заряда q', перемещенного индукционным током по контуру баллистического гальванометра при выключении тока в обмотке:

q'=(Ф – Ф')/R=(BS – B'S)/R,

где Ф, Ф' – магнитный поток в кольце соответственно до и после исчезновения тока в обмотке тороида.

Тогда

B – B'=q'R/S.

Подставив сюда вместо B его значение по формуле (5) предыдущей задачи, получим

B'=(q – q')R/S. (1)

Наконец, из соотношения H=B/₀–J, с учетом, что H=0, определим остаточную намагниченность кольца:

J'=B'/₀=(q – q')R/₀S. (2)

Подставив в формулы (1) и (2) числовые значения величин, выраженные в единицах СИ, и выполнив вычисление, найдем:

B=0,8 Тл; J'=610⁵А/м.

Ответ: B=0,8 Тл; J'=610⁵А/м.

Замечание. Решив задачу, мы получили парадоксальный результат: напряженность магнитного поля внутри намагниченного кольца равна нулю. Этот результат является следствием того, что напряженность магнитного поля в кольце пропорциональна силе тока в обмотке и не зависит от свойств материала кольца. Такой же результат получился бы, если вместо кольца взять длинный стержень, вставленный внутрь длинного соленоида. Однако на все остальные случаи этот результат не распространяется. Например, внутри намагниченного кольца с воздушным зазором H – 0 даже при отсутствии тока в обмотке.

3.3.5.Тороид с железным не намагниченным сердечником, длина которого по средней линии l₁=1,00 м, имеет воздушный зазор l₂=3,00 мм. По обмотке тороида, содержащей N=1300 витков, пустили ток, в результате чего индукция в зазоре стала B₂=1,00 Тл. Определить силу тока.

Решение. Поскольку в задаче идет речь о магнитной цепи, применим теорему о циркуляции вектора H, выбрав в качестве контура интегрирования среднюю линию тороида L. Эта задача отличается от предыдущих тем, что здесь из-за воздушного зазора условие H=const выполняется уже не для всех точек контура L. В этом можно убедиться, сравнив магнитные индукции в железе B₁и воздухе B₂и учитывая, что линии вектора B всегда замкнуты. Так как воздушный зазор в тороиде узкий, то рассеиванием линий индукции можно пренебречь. Следовательно, линии индукции будут проходить так же, как и в сплошном торе, который уже рассматривался. Поэтому через любое поперечное сечение тороида, в том числе и через сечение, взятое в воздушном зазоре, проходит один и тот же магнитный поток Ф. А так как и площадь любого сечения S одна и та же, то одинаковы и магнитные индукции в любой точке контура L:

B₁=B₂=B=1,00 Тл. (1)

Поскольку магнитная индукция в железе и воздушном зазоре одинакова, а магнитные проницаемости этих веществ разные, то напряженности магнитного поля в железе и зазоре различны. Поэтому, применив теорему о циркуляции вектора Hк контуру L, запишем

H₁₁+H₂₂=NI, (2)

где H₁, H₂– напряженности магнитного поля в железе и зазоре.

Так как для воздуха =1, то из выражения B=₀H имеем

H₂=B₂/₀=8,010⁵А/м. (3)

Величину H₁найдем по графику намагничивания, выражающему зависимость между величинами B, H в железе (этот график приводится в задачниках и справочниках по физике):

H₁=200 А/м.

Из уравнения (2) для силы тока получим:

I=(H₁₁+H₂₂)/N=2,0 А.

Замечание. Допустим, что имеется обратная задача, в которой дана сила тока I, но требуется определить магнитную индукцию в зазоре B₂(или в железе B₁, что то же самое). Оказывается, такая задача решается несколько иным путем. Теперь, не зная ни одной из характеристик магнитного поля ни в воздушном зазоре, ни в железе, мы лишены возможности применить график намагничивания железа. Однако воспользуемся зависимостью

B₁=f(H₁), (4)

выражаемой этим графиком. Для этого надо уравнение (2) переписать с учетом соотношений (1), (3) так, чтобы оно также выражало зависимость между величинами B₁и H₁

H₁₁+B₁₂/₀=NI. (5)

Если бы зависимость (4) была задана уравнением, достаточно было бы алгебраически решить систему уравнений (4), (5) относительно неизвестных B₁, H₁. Но зависимость (4) задана графиком. Следовательно, надо применить графический метод решения системы двух уравнений. На графике функции B₁==f(H₁) строят прямую (5). Координаты точки пересечения двух линий укажут искомые величины B₁, H₁.

3.3.6. После выключения тока в обмотке тороида из предыдущей задачи остаточная индукция в зазоре стала B=4,2 мТл. Определить остаточную намагниченность J сердечника, а также напряженность H₁поля в железе.

Решение. Было бы ошибкой воспользоваться для отыскания величины H₁кривой намагниченности железа, как это было сделано в предыдущей задаче. Состояние железа, в котором оно рассматривается в данной задаче, возникло в результате неполного размагничивания железа. Однако вследствие явления магнитного гистерезиса кривые намагничивания и размагничивания железа не совпадают.

Единственно правильный путь решения задачи состоит в применении теоремы о циркуляции вектора H. Повторив рассуждения, принятые в предыдущей задаче, снова получим соотношения (1), (2). Но теперь I=0, поэтому

H₁₁+H₂₂=0. (1)

По прежнему величины H₂, B в воздушном зазоре связаны соотношением B==₀H, где=1. Тогда H=B/₀.

Подставив это значение H₂в (1), получим напряженность магнитного поля в железе:

H₁=-H₂₂/₁=-B₂/(₀₁). (2)

Знак "минус" в формуле показывает, что векторы H, Bв намагниченном железе при отсутствии тока в обмотке направлены противоположно. Из соотношения

H=B/₀-J,

определим остаточную намагниченность железа:

J=B/₀-H₁,

или, учитывая противоположные направления векторов B, H₁, запишем в скалярном виде

J=B/₀+H₁.

Поставив вместо H₁его абсолютное значение из формулы (2), найдем

. (3)

Подставив в формулы (2), (3) числовые значения величин, выраженные в единицах системы СИ, выполнив вычисление, получим:

H₁=-10 А/м; J=3,410³А/м.

Ответ: H₁=-10 А/м; J=3,410³А/м.

3.3.7. По обмотке тороида с не намагниченным железным сердечником пустили ток силой 0,60 А. Витки провода диаметром d=0,40 мм с весьма тонкой изоляцией плотно прилегают друг к другу. Определить индуктивность тороида при данных условиях, а также энергию магнитного поля в сердечнике, если площадь его сечения S=4,0 см2, а диаметр средней линии D=30,0 см.

Решение.Учитывая численные значения S, D, видим, что длина средней линии тороида значительно превышает диаметр его витков. Поэтому индуктивность можно рассчитать, рассматривая данный тороид как соленоид, согнутый в кольцо, следовательно, в этом случае оказывается справедливой соотношение

L=₀n²V.

Используя геометрические соотношения V=DS, n=1/d, получим

L=₀pDS/d². (1)

Так как ₀=B/H, найдем величины H, B, характеризующие магнитное поле в сердечнике. Напряженность магнитного поля внутри тороида равна

H=(N/)I==nI=I/d=1,510³А/м. (2)

По кривой намагничивания железа находим магнитную индукцию в сердечнике B=1,35 Тл.

Теперь, поскольку величины B и H известны, запишем первый ответ на основании (1):

 (3)

Зная индуктивность тороида и силу тока в обмотке с учетом (3), (2) определим энергию магнитного поля

. (4)

Такой же результат можно получить воспользовавшись формулой связывающей энергию магнитного поля и объемную плотность энергии магнитного поля

W=w_oV=DSBH/2.

Подставляя в формулы (3), (4) числовые значения всех величин, выраженные в единицах системы СИ, получим

L=2,1 Гн; W=0,4 Дж.

Ответ: L=2,1 Гн; W=0,4 Дж.

3.3.8. Плоский квадратный контур со стороной а=10 см, по которому течет ток I=100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B=1 Тл). Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1)₁=90⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

1. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур

A=-IФ=I(Ф₁-Ф₂),

где Ф₁– магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения;

Ф₂– то же, после перемещения.

Если ₁=90⁰, то Ф₁=BS, Ф₂=0, S=a². Следовательно,

A=IBS=IBa². (1)

Подставляя в формулы (1), числовые значения всех величин, выраженные в единицах системы СИ, получим

A=1001(0,1)²=1 Дж.

2) Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле

W_p()=-p_mBcos.

Тогда работа внешних сил

A=W_p=W₂-W₁, или A=p_mB(cos₁-cos₂).

Так как p_m=IS=Ia², cos₁=1 и cos₂=0, то

A=IBa², (2)

что совпадает с (1).

Ответ: А=1 Дж.

3.3.9.Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N==1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I=4 А магнитный поток Ф=6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию магнитного поля соленоида.

Решение.Индуктивность L связана с потокосцеплением J и силой тока I соотношением

J=LI. (1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу)

J=NФ. (2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида

L=NФ/I. (3)

Энергия магнитного поля соленоида

W=LI²/2.

Выразив L согласно (3), получим

W=NФI/2. (4)

Подставляя в формулы (3), (4) числовые значения всех величин, выраженные в единицах системы СИ, имеем

L=1,210³610^-6/4=1,810^-3Гн;

W=1,210³610^-64/2=1,4410^-2Дж.

Ответ: L=1,810^-3Гн=1,8 мГн; W=1,4410^-2Дж =14,4 мДж.