6.4. Электромагнитные волны

Из теории Максвелла (его уравнений) следует:

1. Переменные электрическое и магнитное поля не могут существовать отдельно, независимо друг от друга; одно поле порождает другое. Они существуют всегда вместе в виде единого электромагнитного поля, которое в каждой точке пространства характеризуется векторами EиH.

2. Электромагнитное поле, возникнув в одном месте пространства, не остается локализованным в нем, а распространяется от этого места пространства в виде электромагнитной волны. Векторы E иHэлектромагнитной волны взаимно перпендикулярны и перпендикулярны вектору скорости v, с которой распространяется волна.

Уравнения плоской синусоидальная волны, т.е. такой, фронт которой представляет плоскость, перпендикулярную направлению распространения, а в фиксированной точке изменение векторов E иHпроисходит по закону синуса косинуса



Решения этих дифференциальных уравнений имеют вид

E(r,t)=E_msin(t ± r/v)

H(r,t)=H_msin(t ± r/v),

где E(r,t), H(r,t) – мгновенные значения векторовE иHв данной точке пространства с координатой r и в данный момент времени t;

E_m, H_m– их максимальные значения;

=2/T=2– круговая или циклическая частота;

 – частота колебаний.

Знак минус соответствует волне, распространяющейся в направлении возрастания r.

Между векторами E иHв электромагнитной волне существует связь

.

6.5. Примеры решения задач

6.5.1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С=5 мкФ и катушки с индуктивностью L=0,200 Гн. Определить максимальную силу тока I₀в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора U₀=90 В. Активным сопротивлением контура R пренебречь.

Решение. Рассмотрим два способа решения задачи. Первый из них основан на исследовании уравнения свободных электромагнитных колебаний

, (1)

где – амплитуда свободных (затухающих колебаний);

=R/2L – коэффициент затухания;

 – циклическая частота;

q₀– начальная амплитуда (определяется из начальных условий);

₀– начальная фаза (определяется из начальных условий.

Второй способ основан на законе сохранения энергии.

1. Если в колебательном контуре сопротивление R пренебрежимо мало, то в уравнении (1), выражающем заряд конденсатора как функцию времени, можно положить коэффициент затухания =0. Тогда, согласно выражению

=

получим ₀=. Следовательно, в контуре будут незатухающие колебания, при этом

q=q₀sin(t+₀), (2)

Сила тока есть производная от заряда по времени. Поэтому, дифференцируя обе части (2) по времени, получим для силы тока в контуре уравнение

I=₀q₀cos(t+₀).

Величина I₀=₀q₀является амплитудным, т.е. максимальным, значением тока в контуре. Подставив₀=и учитывая соотношение q₀=CU₀, определим искомую величину:

I₀=₀q₀=CU₀=U₀.

2. В процессе незатухающих электромагнитных колебаний полная электромагнитная энергия контура, равная сумме энергий электрического поля конденсатора W_С=CU²/2 и магнитного поля катушки W_L=LI²/2, остается величиной постоянной: W=W_С+W_L=const. При этом в те моменты, когда конденсатор максимально заряжен (U=U₀), сила тока равна нулю. Следовательно, полная энергия контура

. (3)

В момент полной зарядки (U=0), сила тока в контуре достигает максимального значения I₀. Тогда полная энергия равна

. (4)

Приравняв правые части формул (3), (4), найдем

.

Подставив значения величин, выраженные в единицах СИ, и произведя вычисления, получим I₀=0,45 А.

Ответ: I₀=0,45 А.

6.5.2.Добротность колебательного контура Q=5,0. Определить, на сколько процентов отличается частотасвободных колебаний контура от его собственной частоты₀?

Решение.Во всяком реальном контуре, обладающим сопротивлением R, частота свободных электромагнитных колебанийменьше собственной частоты контура₀(т.е. частоты колебаний при R0). В задаче требуется найти величину x=(₀–)/₀=1 –/₀. (1)

Добротность контура выразим через величины ,₀, используя формулы

;;

и соотношение T=2/, откуда имеем

Q=/=/T=/2=. (2)

Введя обозначения =/₀, из (2) получим

.

Определив отсюда величину , на основании (1) найдем

x=1 – =1 – 2Q/(1+4Q²)^1/2. (3)

Переходя к вычислениям, учтем, что в данном случае 4Q²>>1. Поэтому формулу (3) можно упростить. Разделив числитель и знаменатель на 2Q и применив формулы приближенного вычисления, получим

x=1 – 1/(1+4Q²)^1/2~ 1 – 1/(1+8Q²) ~ 1 – (1 – 1/8Q²)=1/8Q².

Подставив значение Q, произведем вычисления

x=0,5010^-2, или x=0,50 %.

Ответ: x=0,50 %.

6.5.3. В цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора сопротивлением R=20 Ом, катушки индуктивностью L=1,0 мГн и конденсатора емкостью C=0,10 мкФ, действует синусоидальная ЭДС Определить частотуЭДС, при которой в цепи наступит резонанс. Найти также действующее значение силы тока I и напряжений U_R, U_L, U_Cна всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение ЭДСE= 30 В.

Решение.Под действием переменной ЭДС в данной цепи, представляющей собой колебательный контур, установятся вынужденные электромагнитные колебания. При этом амплитудные значения I₀и ЭДСE₀связаны соотношением

.

Из формул I_д=;E_д=видно, что между действующими значениями тока I_ди ЭДСE_дсуществует то же соотношение, что и между величинами I₀,E₀. Поэтому (опуская для простоты индексы у величин I_д,E_д) запишем

. (1)

Очевидно, максимальному току при резонансе I_резсоответствует такое значение, при котором в формуле (1) выражение (L– 1/C)²=0. Отсюда определяем резонансную частоту:

=_рез=[1/(LC)]^1/2=1,010⁵рад/с. (2)

При этом сила тока равна

I_рез=E/R=1,5 А.

Зная силу тока I_рез, найдем действующие значения напряжения на каждом из элементов контура R, L, C, применив закон Ома для каждого из участков

U_R=I_резR=E=30 В;

U_L=I_резLw=EL/R=150 В;

UC=I_рез[1/(C)]=U_L=150 В.

Равенство U_L=U_Cследует из равенства емкостного и индуктивного сопротивлений при резонансе.

Ответ: _рез=1,010⁵рад/с; I_рез=1,5 А; U_R=30 В; U_L=150 В; U_C=150 В.

6.5.4.Определить действующее значения силы тока на всех участках цепи, состоящей из параллельно включенных C, RL иE, если R=1,0 Ом, L=1,0 мГн, C=0,110 мкФ,E=30 В,=1,0010⁵рад/с.

Решение. Эта цепь отличается от предыдущей способом включения источника переменной ЭДС (внутренним сопротивлением которого мы пренебрегаем). Если раньше все элементы цепи были включены последовательно, то в данном случае имеем разветвленную цепь переменного тока, одна из ветвей которого является параллельным соединением двух ветвей: конденсатора C и элементов R, L, соединенных последовательно между собой. Каждая из ветвей вместе с источником ЭДС образует колебательный (неполный) контур. Поэтому силу тока в каждой ветви снова найдем по формуле

,

заменив амплитудные значения величин I₀,E₀их действующими значениями I,E. Тогда для силы тока в ветви, состоящей из конденсатора C, где R=0, L=0, получим

I_C==EC=0,33 А. (1)

В ветви R-L, где отсутствует емкостное сопротивление RC=1/(C), сила тока с учетом тогочто R²<<(L)²равна

=0,30 А. (2)

Если бы переменные токи в обеих ветвях имели одинаковые фазы, то сила тока в неразветвленной части цепи была бы равна сумме сил токов I_C, I_RL. Однако эти токи имеют различные фазы: между каждым из них и ЭДСEсуществует сдиг фаз, определяемый формулой

.

Применим эту формулу для каждой ветви. Для ветви с конденсатором C: R=0, L=0.

Следовательно,

tg_C–;_C=-/2.

Для ветви R-L, учитывая, что 1/(C)=0, получим

tg_RL=L/R=100;_RL~/2.

В формуле I=I₀sin(t –) величинастоит со знаком "-"; это означает, что ток I_Cопережает по фазе ЭДСEна/2, а ток I_RLотстает по фазе от ЭДСEна/2. В связи с этим, ток в неразветвленной цепи

I=I_C– I_RL=0,03 А. (3)

Замечание. В данной задаче величины R, L,были связаны соотношением R<<L. Именно поэтому переменные токи в параллельных ветвях

оказались в противоположных фазах (~). Если при этом величины,C, L оказались бы связанными соотношением=_рез=[1/(LC)]^1/2, то, как видно из формул (1), (2), величины I_C, I_RLприблизительно одинаковы и согласно формуле (3), I=I_C– I_RL~ 0. Точнеепри R0, I0 и, следовательно, полное сопротивление переменному току всего участка стремится к бесконечности. В этом случае наблюдается резонанс токов (в отличие от резонанса напряжений, рассмотренного в предыдущей задаче). Таким образом, при наличии неравенства R<<Lусловие резонанса токов совпадает с условием резонанса напряжений.

6.5.5. Два параллельных провода погруженные в бензол, индуктивно соединены с генератором высокочастотных электромагнитных колебаний. При частоте=100МГц в системе устанавливаются стоячие электромагнитные волны. Перемещая вдоль проводов газоразрядную трубку А, по ее свечению определяют положения пучностей напряженности электрического поля. Расстояние между соседними пучностями оказалось равным=1,00 м. Найти диэлектрическую проницаемость бензола.

Решение.Стоячие электромагнитные волны возникают в результате интерференции волн, распространяющихся по двухпроводной линии от генератора в прямом направлении, с волнами, отраженными от конца линии. Учтем, что при данной высокой частоте электромагнитных колебаний основные процессы, связанные с распространением электромагнитных волн вдоль линии, происходят не в проводах, а в окружающей их среде (в следствие скин-эффекта переменный ток частоты=10⁸Гц течет практически лишь по поверхности проводов).

Согласно теории Максвелла, скорость электромагнитных волн в среде связана с их скоростью в вакууме формулой:

, (1)

где c =3,0010⁸м/с – скорость распространения электромагнитных волн(света) в вакууме.

Из формулы (1), учитывая, что для бензола ~ 1, найдем его диэлектрическую проницаемость

=c²/v². (2)

Скорость электромагнитных волн связана с длиной волны и частотойсоотношением v=. Поскольку расстояние между соседними пучностями в стоячей волне равно половине длины волны, т.е.=2, то получим

=c²/v²=c²/(4²²). (3)

Подставив числовые значения величин, выраженные в единицах СИ, и выполнив вычисление, найдем = 2,2.

Ответ: =2,2.

6.5.6.Определить энергию, которую переносит за время t=1,00 мин плоская синусоидальная электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, через площадку S=10,0 см², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля волны E₀==1,00 мВ/м. Период волны T<<t.

Решение.Энергия переносимая электромагнитной волной за единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны, определяется вектором Пойнтинга P=[EH]. Учитывая, что в электромагнитной волне векторы E, Hвзаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения волны, получим для модуля вектора P

P=EH. (1)

Поскольку обе величины E, H, характеризующие электромагнитную волну, в каждой ее точке меняются во времени по закону синуса, находясь в одинаковых фазах, соотношение (1) можно записать так:

P=E₀sintH₀sint=E₀H₀sin²t. (2)

Таким образом, величина P является функцией времени, и формулы (1), (2) дают лишь мгновенное значение величины P. Поэтому, согласно определению вектора плотности потока энергии, запишем

.

Отсюда энергия dW, переносимая волной через площадку S за время dt, с учетом формулы (2), равна

dW=PdS=E₀H₀Ssin²(t)dt. (3)

Здесь неизвестна величина H₀. Воспользуемся тем, что между величинами E, и H, характеризующими электромагнитную волну в одной и той же точке, существует простое соотношение. Найдем его, учитывая, что, согласно теории электромагнитных волн, плотности энергии электрического и магнитного полей волны в любой момент времени равны, т.е.

. (4)

Так как, по условию, ==1, то из (4) получим

H=E(₀/₀)^1/2.

Так же связаны между собой и амплитудные значения E₀, H₀. Тогда уравнение (3) примет вид

dW=(₀/₀)^1/2E₀²Ssin²(t)dt.

После интегрированияс учётом тогочто в силу неравенства T<<t членом sin(2t)/4можно пренебречьполучим

.

Подставив числовые значения величин, выраженные в единицах СИ, и выполнив вычисления, найдем

W=8,010^-11Дж.

Ответ: W=8,010^-11Дж.

Таблица вариантов контрольной работы N 4

Вари- ант	Номера задач
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50	51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75	76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100	101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125	126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150	151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175	176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200