6. Электромагнитные колебания и волны

6.1. Собственные электромагнитные колебания

Собственные электромагнитные колебания – колебания происходящие в самом колебательном контуре. Уравнение таких колебаний:



Решением этого уравнения является выражение: q=q₀sin(₀t+).

Период и частота собственных электромагнитных колебаний

.

.

Уравнения, согласно которым происходит изменение напряжения U_cи тока i в контуре с течением времени:

U_c=q/C=(q₀/C)sin(₀t+)=U₀sin(₀t+);

i=dq/dt=(q₀₀)cos(₀t+)=i₀cos(₀t+).

6.2. Затухающие электромагнитные колебания

Если электромагнитный колебательный контур содержит активное сопротивление Rи отключен от источника эдсто рассеянная на R энергия не восполняется извне, значит колебания в контуре являются затухающими

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:



его решением является выражение вида

,

где – амплитуда колебаний в момент времениt;

 – коэффициент затухания;

знак (минус) – означает, что с течением времени амплитуда колебаний уменьшается.

Условная циклическая частота равна:

²=.

Условный период

Названия “условная циклическая частота” и “условный период” обусловлены тем, что затухающие электромагнитные колебания не являются строго периодическими, так как функция времени q=f(t) не является периодической.

Период собственных электромагнитных колебаний T₀=2/₀меньше условного периода затухающих колебаний T, т.е. наличие активного сопротивления R замедляет колебания.

Декремент колебаний – отношение двух последовательных значений q, отличающихся по времени на период:

.

Логарифмический декремент =ln=T.

Условие возникновения апериодических колебаний

R=2(L/C)^1/2.

Добротность колебательного контура:



6.3. Вынужденные электромагнитные колебания

Если энергиярассеянная на сопротивлении Rвосполняется из вне, например за счет некоторой ЭДС, изменяющаяся по какому-либо периодическому закону (по закону синуса или косинуса), то в таком контуре будут существовать вынужденные электромагнитные колебания.

Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний:

или

или

Решение уравнения вынужденных электромагнитных колебаний

q=q₁+q₂,

где q₁=q₀₁cos(t -) – частное решение;

q₂= q₀₂exp(-t)sin (₀t+) – общее решение однородного уравнения.

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно описать уравнением вида: q=q₀₁cos(t –).

Решая уравнение вынужденных электромагнитных колебаний, можно получить

;,

или

;.

Частота соответствующая максимальному значению q₀₁(а, следовательно, тока и напряжения) при вынужденных колебаниях равна

=,

где ₀=, а=R/2L.

Явление резкого возрастания амплитудных значений переменных величин при электромагнитных колебаниях (в контуре) называется резонансом. Частота, при которой наблюдается резонанс – резонансной частотой. Характер резонансных кривых определяется значением сопротивления R.

Для амплитуды тока и разности фаз между током и внешней ЭДС справедливы соотношения



При резонансе величина L=1/(C), и амплитуда напряжения на конденсаторе равна амплитуде напряжения на катушке

;

.