Численное значение каждого из векторов

(2)

В областях вне плоскостей (1 и 3) векторы напряженности электрических полей E₊ и E_- равны по величине, но противоположны по направлению, следовательно, поля компенсируют друг друга, результирующее поле отсутствует, E=0.

В области между плоскостями (2) векторы напряженности электрических полей E₊ и E_ направлены в одну сторону, результирующее поле характеризуется вектором

(3)

Таким образом, вне объёма, ограниченного плоскостями, поле отсутствует. Поле сосредоточено между плоскостями и напряженность его одинакова по величине и направлению во всех точках ограниченной области.

Полученный результат оказывается справедливым и для поля заряженных плоскостей конечных размеров. Отклонение от полученного результата наблюдается только вблизи краёв (так называемый краевой эффект).

1.2.1.4. Задача. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной сферической поверхности, радиус которой R, а поверхностная плотность заряда s.

Решение. Для определения величины напряженности электрического поля в некоторой точке А, находящейся на расстоянии r>R , воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. С этой целью вокруг заданной сферы построим некоторую замкнутую сферическую поверхность радиусом r, равным расстоянию от рассматриваемой точки поля до центра сферы.

Линии вектора напряженности электрического поля в этом случае перпендикулярны поверхности заданной сферы, направлены по радиальным прямым.

Поток вектора напряженности электрического поля через построенную поверхность

(1)

Заряд, находящийся внутри построенной поверхности

(2)

На основании теоремы Остроградского-Гаусса

(3)

следовательно, имеем:

(4)

откуда

(5)

При r=R

(6)

При r<R

E=0, (7)

внутри сферической поверхности поле отсутствует.

Вне её, т.к.

(8)

(9)

т.е. оно такое же как и поле точечного заряда, помещенного в центр сферы.

1.2.1.5. Задача. Рассчитать напряженность электрического поля заряженной сферы, радиус которой R, а объёмная плотность заряда r.

Решение. Линии вектора напряженности электрического поля в этом случае направлены по радиальным прямым, перпендикулярно поверхности сферы.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса.

В этом случае, построив замкнутую сферическую поверхность, радиусом r>R, для потока вектора напряженности электрического поля, будем иметь:

(1)

Заряд, находящийся внутри построенной поверхности

(2)

(3)

. (4)

а

. (5)

При r=R

(6)

При r<R

(7)

При r=0

E=0. (8)

1.2.1.6. Задача. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁=6 см и R₂=10 см несут соответственно заряды Q₁=1 нКл и Q₂=-0,5 нКл. Найти напряженность E поля в точках отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁=5 см, r₂=9 см, r₃=15 см.

Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях: области I(r₁< R); области II (R₁<r₂<R₂); области III (r₃>R₂).

1. Для определения напряженности E₁ в области I проведем гауссову поверхность S₁ радиусом r₁ и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:

(так как суммарный заряд, находящийся внутри гауссовой поверхности, равен нулю). Из соображений симметрии E_n=E₁=const. Следовательно,

и E₁ (напряженность поля в области I) во всех точках, удовлетворяющих условию r₁<R₁, будет равна нулю.

2. В области II гауссову поверхность проведем радиусом r₂. В этом случае

(внутри гауссовой поверхности находится только заряд Q₁).

Так как E_n=E₂=const, то

или

где S₂=4pr₂²-площадь гауссовой поверхности.

Окончательно в области II, имеем:

(1)

3. В области III гауссова поверхность проводится радиусом r₃. Обозначим напряженность электрического поля в области III-E₃ и учтем, что в этом случае поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен Q=Q₁+Q₂. Тогда

Так как заряд Q₂<0, то

(2)

Выразив все величины в единицах системы СИ и произведя вычисления, получим:

E₂=1,11 (кВ/м); E₃=200 (В/м).

1.2.1.7. Задача. Точечный заряд q=0,15 мкКл находится вцентре сферической проводящей оболочки, внешний и внутренний радиусы которой соответственно равны R=25 см и r=20 см. Определить напряженность поля в точках 1 и 2, удаленных от заряда соответственно на r₁= 50 см и r₂=10 см, а также разность потенциалов между этими точками.

Решение. Если бы заряд q не был окружен проводником, то можно было бы воспользоваться формулами

(1)

Из-за наличия проводника, под влиянием электрического поля заряда q на сферических поверхностях проводника появятся индуцированные заряды, равные по величине и противоположные по знаку; на внутренней поверхности – отрицательные, на внешней – положительные. Из-за соображений симметрии ясно, что, эти заряды равномерно распределятся по каждой поверхности. Но согласно формуле

это означает, что напряженность поля индуцированных зарядов такова, как если бы оба заряда (+q _инд и –q _инд) оказались в центре сферы. Ясно, что при этом их поля будут уничтожать друг друга. Учитывая также соотношение Eвнутр=0, приходим к выводу, что наличие проводящей оболочки не изменит напряженности поля заряда q в точках 1 и 2.

Подставив в формулу (1) числовые значения величин, выраженные в единицах системы СИ, найдем

E₁=5 (кВ/м); E₂=140 (кВ/м).

Потенциалы в каждой из точек 1 и 2 определим с помощью принципа суперпозиции электрических полей:

j= j_q+j_qинд+j_-qинд.

Тогда для точки 1 согласно (1), получим:

(2)

т.е. потенциал снаружи сферической оболочки таков, как будто ее нет.

Чтобы найти потенциал поля в точке 2, учтем, что напряженность электрического поля зарядов, равномерно распределенных по поверхности сферы, равна нулю внутри сферы. Поэтому все точки этого поля внутри сферы имеют одинаковый потенциал, равный потенциалу самой сферы и определяемый формулой

(3)

где r_2-расстояние до рассматриваемой точки;

R-радиус внешней сферы;

r-радиус внутренней сферы.

Чтобы определить величину q_инд, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

(4)

применив ее для замкнутой поверхности S, проходящей внутри проводника и охватывающей заряды q и -q_инд. Так как внутри проводника при установившемся распределении зарядов электрическое поле отсутствует, поток вектора напряженности, определяемый формулой (4), равен нулю. Следовательно,

Отсюда, индуцированные заряды +q_инд и –q_инд численно равны заряду q. Поэтому формулу (3) можно переписать так:

(5)

Теперь из формул (2) и (5) получим

.

Выразив все величины в единицах системы СИ и произведя вычисления, получим:

j_1-j₂=9 (кВ).