1.2.1. Примеры решения задач

1.2.1.1. Задача. Рассчитать напряженность электрического поля, созданного бесконечно длинным, равномерно заряженным стержнем в точке, находящейся на кратчайшем расстоянии r от его оси. Линейная плотность заряда на стержне – .

Решение. Для решения задачи воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. С этой целью вокруг стержня проведем замкнутую, в рассматриваемом случае удобнее, цилиндрическую поверхность конечной длины (гауссову поверхность), на боковой поверхности которой находится точка А. Линии вектора E перпендикулярны оси стержня и боковой поверхности цилиндра.

Поток вектора напряженности электрического поля через поверхность

, (1)

где Ф₀=0, т.к. E_n= E cosa=0, следовательно,

. (2)

(3)

На основании теоремы Остроградского-Гаусса

(4)

тогда

(5)

отсюда

(6)

Формула (6) справедлива не только для электрического поля заряженного стержня, но и для полей заряженных проводников, цилиндров, 2-х коаксиальных цилиндрических поверхностей, заряженных с одинаковой по величине линейной плотностью .

1.2.1.2. Задача. Рассчитать напряженность электрического поля бесконечно протяженной однородно заряженной плоскости, заряд на которой равномерно распределен с поверхностной плотностью s.

Решение. В данном случае линии вектора напряженности электрического поля перпендикулярны плоскости, поле однородное.

Для расчета напряженности электрического поля воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. С этой целью выделим на плоскости некоторую площадку DS, построим замкнутую цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны линиям вектора E. На одном из оснований этой поверхности находится рассматриваемая точка, в которой определяется напряженность электрического поля.

Поток вектора напряженности электрического поля через построенную замкнутую цилиндрическую поверхность равен потоку E_s через боковую поверхность и потокам E_о через два основания:

(1)

Так как поток вектора E_s через боковую поверхность равен нулю (линии вектора E не пересекают боковую поверхность), то полный поток E равен:

Ф=2Ф₀, (2)

т.е.

(3)

где

Ф₀=E DS. (4)

С другой стороны,

(5)

. (6)

следовательно, имеем

(7)

откуда

(8)

Из полученного результата видно, что на любых расстояниях от бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости напряженность электрического поля не зависит от расстояния и имеет одно и тоже направление, что и подтверждает его однородность.

1.2.1.3. Задача. Рассчитать напряженность электрического поля двух бесконечно протяженных равномерно заряженных плоскостей, заряд на которых равномерно распределен с поверхностными плотностями s_- и s₊.

Решение. Каждая из плоскостей вокруг себя создаёт электрическое поле с напряженностями соответственно E₊ и Е_-. В пространстве, как вне, так и между плоскостями существует в этом случае результирующее электрическое поле с напряженностью

E=E₊+E_-. (1)