1.2. Потенциал электрического поля и его связь с напряженностью. Теорема Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля через поверхность S , это физическая величина равная

В случае замкнутых поверхностей

при этом принято считать поток вектора E выходящий из области, охватываемой поверхностью положительным, а входящий – отрицательным.

Поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность

Для системы из n электрических зарядов поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

т.е.: "Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности".

Данное утверждение носит название теоремы Остроградского-Гаусса.

При непрерывном распределении электрических зарядов с объёмной плотностью r, внутри некоторой замкнутой поверхности, теорему Остроградского-Гаусса можно записать так:

Интеграл

называется циркуляцией вектора напряженности электрического поля.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

Эта формула справедлива только для электростатического поля. Для электрических полей движущихся зарядов условие равенства нулю циркуляции вектора напряженности не выполняется. Для таких полей она отлична от нуля.

Потенциальная энергия системы электрических зарядов пропорциональна величинам зарядов.

Отношение потенциальной энергии системы зарядов к величине помещаемого в данную точку поля электрического заряда остается постоянным, является энергетической характеристикой электрического поля, которая получила название-потенциал.

Или, потенциал – потенциальная энергия единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля:

где Wp-потенциальная энергия системы электрических зарядов;

q₊ – единичный положительный заряд;

j-потенциал.

Для поля: 1) положительного точечного заряда q:

2) системы точечных зарядов q₁, q₂, q₃, ......

Работа сил электрического поля равна изменению потенциальной энергии, взятой с обратным знаком:

A=-DW=W₁ – W₂=q (j₁-j₂).

Разность потенциалов

При q=q₊=1 ôj₁-j₂ô=ôA₁₂ô, т.е. разность потенциалов между двумя точками поля численно равна работе А₁₂, которую совершают силы электрического поля по перемещению единичного положительного заряда из одной точки поля в другую.

При перемещении единичного положительного электрического заряда из данной точки поля в бесконечность

а

Если q=q₊=1, то

,

т.е. потенциал электрического поля численно равен работе сил электрического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля:

где ℓ-произвольно выбранное направление;

-характеризует быстроту изменения потенциала в данном направлении и называется градиентом потенциала.

В общем случае

E=-gradj,

или

.

Электрическое поле сферически симметрично распределенного заряда, т.е. такого распределения, при котором объёмная плотность заряда зависит от расстояния до центра сферы.

Напряженность электрического поля в точке, расположенной на расстоянии r₁ от центра:

.

Поле внутри "полого" сферически распределенного заряда отсутствует.

Характеристикой линейного распределения заряда является линейная плотность заряда:

В точке, находящейся на расстоянии r от оси бесконечно длинного, равномерно заряженного стержня (провода), напряженность электрического поля является суммарной от всех элементов dx, заряд на которых dq=tdx, и определяется по формуле

Это выражение справедливо и для полей заряженных проводников, цилиндров, 2-х коаксиальных цилиндрических поверхностей.

Характеристикой поверхностного распределения зарядов является поверхностная плотность s:

При равномерном распределении заряда по поверхности

На любых расстояниях от бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости напряженность электрического поля не зависит от расстояния имеет одно и тоже направление, величину, является однородным:

Каждая из двух бесконечно протяженных равномерно заряженных плоскостей, заряд на которых равномерно распределен с поверхностными плотностями s^- и s⁺, вокруг себя создаёт электрическое поле с напряженностями соответственно E₊ и E_- . В пространстве, как вне, так и между плоскостями существует результирующее электрическое поле с напряженностью

E=E₊+E_-.

При этом: 1) вне плоскостей векторы напряженности электрических полей E₊ и E_- равны по величине, но противоположны по направлению, следовательно поля компенсируют друг друга, результирующее поле отсутствует, E=0;

2)Между плоскостями векторы напряженности электрических полей E₊ и E_ направлены в одну сторону, результирующее поле характеризуется вектором

Этот результат оказывается справедливым и для поля заряженных плоскостей конечных размеров. Отклонение от полученного результата наблюдается только вблизи краёв (так называемый краевой эффект).

Линии вектора напряженности электрического поля заряженной сферической поверхности перпендикулярны поверхности сферы, направлены по радиальным прямым. Величина напряженности такого поля определяется соотношением:

где R-радиус сферической поверхности;

r-расстояние от центра сферы до рассматриваемой точки поля.

При:

а) r=R

б) r<R

Характеристикой объемного распределения заряда является объемная плотность

У равномерно заряженной по объёму сферы, радиус которой R, линии вектора напряженности электрического поля направлены по радиальным прямым, перпендикулярно поверхности сферы. Напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии:

а) r>R

б) r=R

в) r<R

г) r=0

E=0.