Зоны Френеля

Френелем был предложенметод зон Френеля, которые позволят рассчитывать амплитуду простым алгебраическим суммированием. По выражению (4.1) рассчитывать очень сложно. Этот метод удобен в случаях симметричного распространения световых волн. Рассмотрим на примере сферической волны от точ. источникаS. Найдем амплитуду в точкеР. Световые волны симметричны относительноSP.

Суть метода зон Френеля состоит в разбиении волновой поверхности на кольцевые зоны, расстояние от краев соседних зон до Ротличаются на. Следовательно, результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, для соседних зон будут отличаться по фазе на(то есть в противофазе).

Рассчитаем площади зон

Площадь зоны m

- площади сферических сегментов ().

Из рисунка

r_m– радиус внешней границы

h_m– высота сегмента

(4.2)

При небольших mслагаемымпренебрежем.

(4.3)

Тогда

Так как не зависит отm, то при небольшихmплощади зон примерно одинаковы.

При малых m и в выражении (4.2) членомпренебрежем

(4.4)

Если положить

Так как уменьшается при увеличенииm, то амплитуда возбуждается зоной в точкеРс увеличениемm убывает.

Так как колебания от зон приходят в противофазе, то результат амплитуды:

Если ее записать как

и положить, что

то

Таким образом, амплитуда, создаваемая сферической волной в точке Р. равна половине амплитуды, создаваемой первой зоной Френеля. Если в экране оставить отверстие под 1 зону Френеля, то амплитуда будетА₁, то есть в 2 раза больше, чемА. А интенсивность в 4 раза будет больше.

Если перекрыть все четные или нечетные зоны Френеля, то интенсивность в точке Ррезко возрастает. Такая платинка называетсязонной. Естьфазовая зонная платинка, которая изменяет фазу, допустим, нечетных зон Френеля на. Усиление интенсивности в 4 раза (амплитуда в 2 раза).

Дифракция от круглого отверстия

Пусть на пути сферической волны находится экран с круглым отверстием радиуса . Тогда из формулы (4.4)

(4.5)

Картина разная в зависимости четное или нечетное m. Амплитуда в точкеРбудет равна

(Если m– нечетное, то «+»).

Если m– нечетное, то

- увеличение амплитуды

Если четное, то

- уменьшение.

Если открыть нечетное количество зон, то будет наблюдаться усиление амплитуды в 2 раза, интенсивности в 4 раза.

Дифракция от круглого диска

Если диск закрытых mзон Френеля (рассчитывается по формуле (4.5)), то

,

откуда. Приmмалом.

Дифракция Фраунгофера

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская волна. За щелью поместим линзу и экран так, что экран лежит в фокальной плоскости линзы. Так как щель бесконечна, достаточно рассмотреть дифракцию в одной плоскости, перпендикулярной щели.

Разобьем волновую поверхность в щели на зоны шириной , которые параллельны краям щели. Вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом, соберутся в точкеРэкрана. Так как линза собирает в фокальной плоскости плоские волны, то в (4.0)отсутствует. Ограничимся рассмотрением малых углов, тогда коэффициентКбудем считать постоянным. Тогда согласно принципу Гюгенса-Френеля каждая зона создает в точкеРколебанияс амплитудой

(4.6)

, зависящей только от площади зоны

Обозначим через А₀алгебраическую сумму амплитуд, возбуждаемую в точкеРвсеми зонами.

Ее можно найти, проинтегрировав по всей щели в

,

откуда(4.6) Сопоставим фазы возбуждаемых колебаний в точкеРзонами с координатамиОиХ. Оптические путиОРиQPтаухотронны. Следовательно, разность фаз образуется на пути. Если начальную фазу колебаний в точкеОпринять равной 0, то начальная фаза колебаний, возбуждаемых зоной с координатойх , будет равна

(4.8)

Тогда, подставив (4.7), (4.8) в (4.6), получим колебания, создаваемые зоной с координатой Х

где .

Проинтегрировав выражение по ширине зоны, найдем результирующее колебание в точке Р, создаваемое волновой поверхностью в пределах щели:

Интегрирование дает

При

1. замечательный предел (при)

при

- количество минимумов

Таким образом, поле интегрирования получаем:

,

где (4.10)

- есть амплитуда колебаний.

при (то есть точкаРнапротив щели)

- первый замечательный предел и результирующая амплитуда равна.

Минимальная амплитуда будет при(m=1,2,3…) – условие минимумов интенсивности.

- оптическая разность хода лучей от краев щели.

Учитывая, что интенсивность из 4.10 получим для интенсивности в точкеР

(4.12)

Из 4.12, так как иследует, то есть картина симметрична относительно центра линзы.

Если изобразить график интенсивности

Из (4.11) можно найти количество минимумов интенсивности (т.к.

То есть когда ширина щели минимумов вообще не возникает.

Краям центрального максимума соответствуют углы следующие из условия: эти значения равны, откуда угловая ширина центрального максимумапри.