Сила действует в направлении перемещения, поэтому

. (7.8)

Элементарная работа в данном случае может быть представлена в виде

. (7.9)

По формуле (7.6) найдем полную работу:

. (7.10)

При сжатии пружины на величину совершается такая же по величине и знаку работа, как и при растяжении.

Экспериментально установлено, что работа сил тяжести, упругих сил, электрических сил не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положениями материальной точки (системы, тела). Работа этих сил по замкнутой траектории равна нулю:

. (7.11)

Силы, для которых выполняется данное условие, называются консервативными или потенциальными.

Работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю. Поэтому потенциальное поле сил можно определить как поле таких сил, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю. Поскольку работа в потенциальном поле сил на замкнутом пути равна нулю, то на одних участках замкнутого пути силы совершают положительную работу, а на других – отрицательную.

Все силы, не удовлетворяющие этому условию, называются неконсервативными.

7.1.1. Работа, совершаемая внешними силами при вращательном движении относительно неподвижной оси

При вращательном движении системы вокруг неподвижной оси работу совершают внешние силы, действующие на систему.

Каждая элементарная масса m_i в этом случае совершает вращательное движение в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Траектория движения элементарной массы представляет собой окружность с центром на оси вращения.

Работа силы F_i по перемещению элементарной массы на элементарном пути dS_i будет равна

, (7.12)

где dS_i = r_id;

r_i - радиус соответствующей окружности.

Так как - численное значение момента силы , а d = ∙dt, то

. (7.13)

Работа внешних сил, действующих на тело (систему) за время dt, будет вычислена так

. (7.14)

Если проекция результирующего момента M на выбранное направление постоянна, то

. (7.15)

7.2. Мощность

Для оценки эффективности машин и механизмов важно знать, как быстро они совершают данную работу.

Физическая величина, численно равная работе, совершаемой в единицу времени, называется мощностью.

Таким образом, мощность характеризует работоспособность машин и механизмов.

Различают мгновенную мощность и среднюю мощность.

Средняя мощность - физическая величина, численно равная отношению работы, совершенной за некоторый промежуток времени t, к величине этого промежутка времени

. (7.16)

Из формулы (7.16) видно, что если работа пропорциональна времени, A  t, то мощность постоянна.

В большинстве случаев мощность зависит от времени N = f(t). В связи с этим вводится в рассмотрение понятие мгновенная мощность, которая определяется как первая производная от работы по времени:

N = dA/dt. (7.17)

Поскольку

dA = F∙dScos = F∙dS) = F_sdS, (7.18)

то

N = d(F∙dScos)/dt = d(F∙dS)/dt = d(F_sdS)/dt = Fv, (7.19)

где F - мгновенная сила;

v - мгновенная скорость.

Таким образом, мгновенная мощность равна произведению мгновенной силы на мгновенную скорость.

Формула (7.19) справедлива, когда сила F или скорость v постоянны. В этом случае N представляет собой постоянную мощность.

При равномерно ускоренном движении (F = const)

N_max = Fv_max; <N> = F<v>. (7.20)

При вращательном движении формулу для мгновенной мощности можно получить следующим образом:

так как

., (7.21)

то при ω₂ = ω, ω₁ = 0 ,

. (7.22)

Мгновенная мощность равна произведению мгновенного момента силы на мгновенную угловую скорость.

Выражение (7.22) справедливо также и в том случае, когда M и  остаются постоянными, тогда мощность тоже постоянна.

Если в формулу (7.22) подставить M = F∙r и  = v/r, то после сокращения получим

N = Fv, (7.23)

что совпадает с ранее полученной формулой (7.19).

Для поступательного движения полученные соотношения можно использовать в том случае, когда F_ - тангенциальная сила, действующая на периферии тела, а v - скорость движения точки на периферии тела.

В системе СИ мощность измеряется в ваттах (Вт).