
- •Министерство образования российской
- •Содержание От авторов 7
- •Библиографический список 192 От авторов
- •1. Физические основы механики
- •2.1. Механика и ее разделы. Физические модели: материальная точка (частица), абсолютно твердое тело (система материальных точек), сплошная среда
- •2.2. Пространственно-временные отношения. Развитие представлений о свойствах пространства и времени в механике
- •2.3. Системы отсчета и описание движений. Элементы кинематики материальной точки: перемещение, скорость и ускорение
- •2.4. Элементы кинематики материальной точки и тела, совершающих вращательное движение: угол поворота, угловые скорость и ускорение. Их связь с линейной скоростью и линейным ускорением
- •2.5. Гармонические колебательные движения и их характеристики: смещение, амплитуда, период, частота, фаза, скорость и ускорение
- •2.6. Методы сложения гармонических колебаний. Векторные диаграммы. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения
- •2.7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
- •3.2. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета
- •3.3. Описание движения в неинерциальных системах отсчета
- •3.3.1. Силы инерции при ускоренном движении системы отсчета
- •3.3.2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета
- •3.3.3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (сила Кориолиса)
- •Силы инерции, возникающие в неинерциальной системе отсчета в зависимости от состояния частицы
- •3.5. Основной закон динамики вращательного движения
- •3.6. Сопоставление формул динамики вращательного и динамики поступательного движений
- •Сопоставление формул динамики поступательного движения и динамики вращательного движения
- •4.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение
- •4.2. Примеры гармонических осцилляторов. Физический, математический и пружинный маятники. Определение их периодов и частот
- •4.2.1. Пружинный маятник
- •4.2.2. Физический и математический маятники
- •4.3. Свободные (затухающие колебания). Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Характеристики затухающих колебаний
- •4.4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •5.1. Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие нелинейность
- •5.2. Автоколебания. Обратная связь. Условие самовозбуждения. Роль нелинейности. Предельные циклы
- •6.1. Кинематика и динамика волновых процессов. Плоская стационарная и синусоидальная волна
- •6.2. Уравнение плоской волны
- •6.3.Волновое уравнение
- •6.4. Интерференция волн. Стоячие волны
- •7.1. Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл
- •Из (7.1) следует, что при
- •Сила действует в направлении перемещения, поэтому
- •7.1.1. Работа, совершаемая внешними силами при вращательном движении относительно неподвижной оси
- •7.2. Мощность
- •Различают мгновенную мощность и среднюю мощность.
- •Поскольку
- •7.3. Энергия как универсальная мера различных форм движений и взаимодействий
- •7.4. Кинетическая энергия системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе
- •7.5. Энергия системы, совершающей вращательное движение
- •Подставив значение VI в (7.35) будем иметь
- •То есть работа внешних сил, действующих на вращающуюся относительно неподвижной оси материальную точку (тело, систему), равна изменению кинетической энергии:
- •7.6. Потенциальная энергия и энергия взаимодействия. Потенциальная энергия и устойчивость системы
- •7.6.1. Связь между потенциальной энергией и силой
- •7.6.2. Внутренняя энергия
- •7.6.3. Силовые поля. Поле как форма существования материи. Поле как форма существования материи осуществляющая силовое взаимодействие между материальными объектами. Характеристики силовых полей
- •Второй характеристикой силового потенциального поля является потенциал.
- •7.6.4. Потенциальная энергия материальной точки (тела, системы) во внешнем силовом поле
- •7.6.5. Поле центральных сил. Движение в поле центральных сил
- •Элементарная работа по перемещению массы на элементарном отрезке dr:
- •Из полученного соотношения видно:
- •В случае, когда сила притяжения будет равна центростремительной силе, то
- •Подставляя значения vа и vп в формулу (7.41), будем иметь
- •Подставив в формулу (7.83) значения r и V, будем иметь t 92 мин.
- •7.7. Энергия упругой деформации
- •7.8. Энергия системы, совершающей колебательное движение
- •Кинетическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание, находится по формуле
- •8.1. Закон сохранения энергии в механике
- •8.1.1. Общефизический закон сохранения энергии
- •8.1.2. Закон сохранения и превращения механической энергии
- •8.2. Закон сохранения импульса. Центр инерции. Закон движения центра инерции
- •8.3. Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов
- •В векторной форме
- •8.5. Применение законов сохранения к упругому и неупругому взаимодействиям (удару)
- •8.5.1. Абсолютно неупругий удар шаров
- •9.1. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования. Закон сложения скоростей в классической механике
- •9.2. Постулаты и представления о свойствах пространства и времени в специальной теории относительности
- •9.3. Преобразования Лоренца для координат и времени
- •9.4. Следствия из преобразований Лоренца
- •9.4.1. Закон сложения скоростей в теории относительности
- •9.4.2. Сокращение движущихся масштабов длин
- •9.4.3.Замедление хода движущихся часов
- •10.2. Четырехмерное пространство - время. Преобразования в четырехмерном пространстве
- •10.2.1. Основные понятия
- •10.2.2. Кинематика четырехмерного пространства-времени
- •10.2.3. Динамика четырехмерного пространства-времени
- •10.3. Столкновения релятивистских частиц. Законы сохранения энергии и импульса
- •10.4. Значение теории относительности
- •Библиографический список
7.1. Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл
Работа - это изменение формы движения, рассматриваемое с его количественной стороны. В общем смысле работа - это процесс превращения одних форм движения материи в другие и одновременно количественная характеристика этого процесса.
Механическая работа - процесс, в котором под действием сил изменяется энергия системы, и одновременно количественная мера этого изменения.
При совершении работы всегда имеются сила, действующая на материальную точку (систему, тело), и вызванное данной силой перемещение. При отсутствии хотя бы одного из этих факторов работа не совершается.
Элементарная работа некоторой силы F, действующей на материальную точку (тело, систему), вызывающей элементарное перемещение dr, равна произведению силы на перемещение:
dA = Fdr = Fdrcos = Frdr, (7.1)
где α - угол между направлением перемещения и направлением действующей силы.
Из (7.1) следует, что при
α < π/2, dA > 0 - работа положительная;
α = π/2, dA = 0 - работа не совершается;
α > π/2, dA < 0 - работа отрицательная;
α = 0, dA = Fdr - направление перемещения и направление действующей силы совпадают.
В том случае, когда величина тангенциальной составляющей силы остаётся всё время неизменной, то работа определяется соотношением
.
(7.2)
В
частности, это условие выполняется,
если тело движется прямолинейно, и
постоянная по величине сила
образует с направлением движения
постоянный угол
.
Поэтому выражению (7.2) в данном случае
можно придать следующий вид:
.
(7.3)
Надо отметить, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе. Например, для того, чтобы держать тяжелый груз, стоя неподвижно, а тем более для того, чтобы перенести этот груз по горизонтальному пути, носильщик затрачивает определенные усилия, т.е. "совершает работу". Однако работа как механическая величина в этих случаях равна нулю.
Вектор
силы на плоскости всегда можно разложить
на две составляющие - нормальную и
тангенциальную. Ясно, что только
тангенциальная составляющая силы
способна совершить работу. В случае,
когда величина проекции силы на
направление перемещения не остается
постоянной во времени, для вычисления
работы следует разбить путь S на
элементарные участки
,
взяв их столь малыми, что за время
прохождения телом такого участка можно
было бы считать силу постоянной. Тогда
на каждом элементарном участке путиS1работа
силы равна
.
(7.4)
А работа на всем пути S может быть вычислена как сумма элементарных работ:
.
(7.5)
В общем случае, когда материальная точка (тело, система), двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, можно мысленно разбить этот путь на бесконечно малые элементы, на каждом из которых сила F может считаться постоянной, а элементарная работа может быть вычислена по формуле (7.1). Сложив все эти элементарные работы и перейти к пределу, устремив к нулю длины всех элементарных перемещений, а их число – к бесконечности, получим
. (7.6)
Выражение (7.6) называют криволинейным интегралом вектора F вдоль траектории L.
Рис.7.1
численно равна площади заштрихованной
полоски, а работа
на пути от точки 1 до точки 2 численно
равна площади фигуры, ограниченной
кривой F(S),
вертикальными прямыми 1 и 2 и осью OS.
Единица измерения работы в СИ носит название джоуль (Дж).
Найдем работу, совершаемую при растяжении пружины, подчиняющемуся закону Гука. Сила, растягивающая пружину, равна по величине и противоположна по направлению упругой силе, т.е.
,
(7.7)
где
– удлинение пружины.