6.2. Уравнение плоской волны

Уравнение плоской волны - выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию ее координат и времени, т.е.

 = (x, у, z, t), (6.4)

где  - смещение.

Рис.6.1

Эта функция должна быть периодической как относительно t, так и относительно x, у, z. Найдем вид функции в случае плоской волны, распространяющейся в направлении осиX (рис. 6.1). Пусть плоская стенка совершает гармоническое колебание, согласно выражению

. (6.5)

В точке пространства, расположенной на расстоянии x от места возникновения волны, частицы будут совершать те же колебания, что и в точке возникновения волны. Волновые поверхности в этом случае будут перпендикулярны к оси X. Поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение  будет зависеть только от x и t  = (x, t).

Для прохождения расстояния от места возникновения до рассматриваемой точки волне требуется время. Фронт волны придет в рассматриваемую точку пространства спустя время .

Уравнение колебаний в рассматриваемой точке будет иметь вид

. (6.6)

Формула (6.6) представляет собой уравнение прямой бегущей волны, т.е. распространяющейся в направлении положительной полуоси X.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Количественно перенос энергии волнами характеризуется вектором плотности потока энергии

. (6.7)

Вектор плотности потока энергии – физическая величина, модуль которой равен энергии E, переносимой волной за единицу времени (t=1) через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (S_). Направление вектора потока плотности энергии (вектора Умова) совпадает с направлением переноса энергии. Можно показать, что численное значение вектора потока плотности энергии определяется соотношением

j = uv, (6.8)

где u – плотность энергии в каждой точке среды, среднее значение которой равно:

;

ρ – плотность среды;

₀ – амплитуда волны;  - круговая (циклическая частота);

v – фазовая скорость (скорость перемещения фазы волны).

В векторной форме:

j = uv. (6.9)

Фазовая скорость упругих волн:

а) продольных ; (6.10)

б) поперечных , (6.11)

где E – модуль Юнга (характеристика упругих свойств среды, обратная коэффициенту упругости);

G – модуль сдвига (он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равен 45^о, если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упругости).

Понятие фазовой скорости справедливо для монохроматических волн.

Так как распространяющиеся в пространстве волны представляют собой волновой пакет (в силу принципа суперпозиции), то кроме фазовой скорости, для волнового пакета вводят в рассмотрение понятие групповой скорости. Волновой пакет – совокупность волн, частоты которых мало отличаются друг от друга.

Групповой скоростью называют скорость перемещения в пространстве амплитуды волны. С ней происходит перенос энергии волны. Групповая скорость определяется следующим соотношением:

. (6.12)

Уравнение обратной волны можно получить путем замены в (6.6) х на (-х):

. (6.13)