1.4. Поток вектора напряженности электростатического поля

Оказывается, что число силовых линий вектораE на любом расстоянии от точечного заряда одно и то же. Для доказательства этого утверждения, выберем точечный заряд q. Проведем вокруг его некоторую замкнутую сферическую поверхность (произвольную) радиусом r (рис. 1.7). Полное число силовых линий N, пронизывающих поверхность S, равно произведению "густоты" силовых линий на величину поверхности. "Густота" силовых линий – это число силовых линий вектора E, приходящихся на единицу поверхности.

"Густота" силовых линий численно равна напряженности электрического поля в данном месте пространства. Численное значение вектора E на расстоянии, равном r от центра сферы (заряда q):

. (1.13)

Площадь сферической поверхности S = 4r², тогда число силовых линий, пронизывающих поверхность,

. (1.14)

Формула (1.14) и доказывает ранее высказанное утверждение. Это свойство линий вектораE является общим для всех полей, создаваемых любой системой неподвижных электрических зарядов.

Если в однородном электрическом поле с напряженностью E поместить некоторую площадку dS (рис. 1.8), ориентация которой в пространстве определяется с помощью положительной нормали n, то число силовых линий вектора E, пронизывающих данную площадку,

dN = E_ndS, (1.15)

где E_n = E cos - проекция вектора напряженности электрического поля на направление положительной нормали к поверхности dS;

 – угол между n и E.

Число силовых линий вектора E, пронизывающих произвольную поверхность S,

. (1.16)

Формула (1.16) определяет поток вектора E, пронизывающий поверхность S.

Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через поверхность S – это физическая величина, равная

. (1.17)

Вслучае замкнутых поверхностей

. (1.18)

На рис. 1.9 представлен поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда, который окружен сферической поверхностью с центром, совпадающим с центром точечного заряда, и поверхностью произвольной формы. Из рисунка видно, что число силовых линий вектора напряженности электрического поля E, выходящих из сферической поверхности, равно числу силовых линий вектора E, выходящих из произвольной поверхности. При этом принимается во внимание, что число дополнительных выходов силовых линий из произвольной поверхности полностью скомпенсировано числом дополнительных входов силовых линий в данную поверхность.

Принято считать поток вектора E, выходящий из области, охватываемой поверхностью, положительным, а входящий – отрицательным.

Поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность

. (1.19)

1.5. Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в вакууме

Если внутри замкнутой поверхности находится система из n электрических зарядов, то поток вектора напряженности через данную поверхность (рис. 1.10)

. (1.20)

Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной на ₀.

Данное утверждение носит название теоремы Остроградского-Гаусса.

При непрерывном распределении электрических зарядов с объёмной плотностью внутри некоторой замкнутой поверхности, теорему Остроградского-Гаусса можно записать так:

. (1.21)

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет определить величину заряда в любой области, в которой известна величина E, и упростить решение многих задач по определению напряженности электрических полей, созданных системами электрических зарядов.