Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Юго-Западный государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.04.2015

Размер:

677.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

строки:	2	0	5		3	16		1	16		1	3	= 2(30 +16)+5(−1)=92 −5 =87.

	1	3	16	= 2			−0			+5
					−1	10		0	10		0	−1
	0	−1	10

Свойство 10. Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя |A| на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

1.4.Определители высших порядков

Определитель квадратной матрицы n-го порядка имеет вид:

		a11	a12	...	a1n
det A =	A	a21	a22	...	a2n

		= ...	... ... ... .

an1 an 2 ... ann

Для определителей n-го порядка справедливы свойства, изложенные в разделе 1.3.

Определители n-го порядка могут быть вычислены двумя способами.

1. Метод разложения по строке или столбцу (метод понижения порядка):

		n
det A =	A	= ∑aik Aik	= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ...ain Ain .
det A =	A	= ∑aik Aik	= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ...ain Ain .
		k =1
ПРИМЕР:						2	−1 0		1
						2	−1 0		1
Вычислим определитель 4-го порядка				A	=	0	1	−1		2	методом понижения
Вычислим определитель 4-го порядка				A	=	0	1	−1		2	методом понижения
						3	−1	3		2
						3	−1	3		2
						3	1	1		6
порядка.
Решение:
Обозначим строки определителя через α1 ,α2 , α3 , α4											, а столбцы - β1 , β2 , β3 , β4 .

Приведем определитель к виду, в котором a11 =1 , а остальные элементы первого

столбца равны нулю. Для этого поставим четвертый столбец на место первого, при этом определитель изменит знак:

		1	−1	0	2

A	= −	2	1	−1	0	.

		2	−1	3	3

		6	1	1	3

Обратим в нули элементы первого столбца во второй, третьей и четвертой строках с помощью преобразований α2 − 2α1 , α3 − 2α1 , α4 − 6α1 :

										1	−1		0	2			3	−1	−4


										0 3		−1 −4
							A	= −								= −	1 3 −1			=
							A	= −								= −	1 3 −1			=
										0	1		3	−1			7	1	−9
										0	1		3	−1
										0	7		1	−9
										0	7		1	−9
	1	3 −1		α	2	− 3α			1		3 −1				10 −1


= (α2 →α1 )	3	−1 −4	=			1			0		−10		−1	=				= 0 .
= (α2 →α1 )	3	−1 −4	=	α		− 7α			0		−10		−1	=	20 −2			= 0 .
	7	1 −9			3	1			0		−20 −2
	7	1 −9			3	1			0		−20 −2

2. Метод приведения к треугольному виду.

Используя свойства, добьемся такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Тогда определитель будет численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

							a11		a12 ...		a1n
							0		a22 ...		a2n							n
		A		→								,		A	= ∏aii =a11 a22 ... ann .
		A		→								,		A	= ∏aii =a11 a22 ... ann .
							... ... ... ...											i=1
							0		0 ...		ann							i=1
							0		0 ...		ann
ПРИМЕР:
																			1		0		2		1	3
																			1		0		2		1	3
Вычислим определитель 5-го порядка																			4 −1 3 2 5								методом приве-
																Α		=	−3		2		−4		5	−7
																Α		=	−3		2		−4		5	−7
																			2		3		19		5	8
																			5	−3			−5 −1			4
дения к треугольному виду.
Решение:																	(α1 )
								1	0 2		1		3								α		− 4α
								1	0 2		1		3
								4 −1 3			2			5			(α2 )					2		1
								4 −1 3			2			5			(α2 )					2		1
					Α	=		−3 2 −4 5 −7									(α3 )			=	α3 + 3α1					=
					Α	=		−3 2 −4 5 −7									(α3 )			=	α3 + 3α1					=
								2	3 19 5					8			(α4 )				α4		− 2α1
								2	3 19 5					8			(α4 )				α4		− 2α1
								5 −3 −5 −1 4									(α5 )				α5 − 5α1
	1 0		2				1		3	(α1 )										1 0 2 1						3	(α1 )
	1 0		2				1		3	(α1 )										1 0 2 1						3	(α1 )
	0 −1 −5 −2 −7									(α2 )										0 −1 −5 −2 −7							(α2 )
=	0 2		2				8		2	(α3 )= (α5 +α4 )= 2										0 1 1 4 1							(α3 )=
	0 3 15						3		2	(α4 )										0 3 15 3 2							(α4 )
	0 −3 −15 −6 −11									(α5 )										0 0 0 −3 −9							(α5 )

						1	0	2	1	3	(α1 )		1	0	2	1	3

	α		+α			0	−1 −5 −2 −7				(α2 )		0	−1 −5 −2 −7
		3		2	2	0	0	−4	2	−6	(α3 )= (α5	−α4 ) = 2	0	0	−4	2	−6	= −240 .
=
	α4		+ 3α2			0	0	0	−3	−19	(α4 )		0	0	0	−3 −19
						0	0	0	−3	−9	(α5 )		0	0	0	0	10

1.5.Операции над матрицами и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Суммой матриц A = ( aij ) и B = (bij ) одинаковой размерности m×n называется матрица C=A+B, элементы которой равны cij = aij +bij , где

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Свойство 1. A+B=B+A.

Свойство 2. (A+B)+C=A+(B+C).

Свойство 3. A+ =A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведением матрицы A на число α называется мат-

рица C=α×A, элементы которой удовлетворяют условию: cij =α aij , где

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Свойство 4. A+(–A)= .

Свойство 5. (αβ)A=α(βA).

Свойство 6. α(A+B)=αA+αB.

Свойство 7. (α+β)A=αA+βA.

Свойство 8. 0 A= ; 1 A=A.

2		1	−1	,	−2		1	0
ПРИМЕР: Найдите 3А+2В, если A =	0	1	−4		B =	−3	2	2	.

6		3	−3 −4			2	0	2 5		−3
Решение: 3A +2B =	0	3	−12	+	−6	4	4	=	−6 7	−8	.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведением матрицы A размерности (m×n) на мат-

рицу B размерности (n×k) называется матрица C=A×B размерности (m×k), элементы которой находятся по формуле:

cij = ∑aiqbqj = ai1b1 j +ai2b2 j +…+ainbnj , i=1,2,…,m; j=1,2,…,k,

q=1

т.е. cij равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A на элементы

j–го столбца матрицы B. Число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы.

								4		1
ПРИМЕР: Найдите А×В, если				(		) ,	B =	5		2
ПРИМЕР: Найдите А×В, если		A	=	(	3	) ,						.
		A	=	1 2	3			6		3
								6		3
Решение:	C = A ×B = 1 4 + 2 5 +3 6 1 1 + 2 2 +3 3							)	=	(	32 14		),
Решение:	(							)		(			),

размерность матрицы C (1×2).

Свойство 9. (A×B)×C=A×(B×C).

Свойство 10. (A+B)×C=A×C+B×C. Свойство 11. A×(B+C)=A×B+A×C.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрицы A и B называются перестановочными (коммутирующими), если A×B=B×A.

В общем случае произведение матриц не коммутативно: A×B≠B×A.

						1		2	1	2
ПРИМЕР: Найдите А×В и В×А, если A =							3		, B =	.
							3	4	1	2
	1 2 1 2			3 6		,
Решение: A×B =			×	=		,
	3 4 1 2			7 14
1 2			1 2 7 10
B × A =	×		=		.
1 2			3 4 7 10
Свойство 12.		A×E=E×A=A.
Свойство 13.		A× = ×A= .
Свойство 14.		(A×B)T =BT×AT.
Свойство 15. det (A×B) = det A det B.								A n–го порядка называется вырож-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квадратная матрица								A n–го порядка называется вырож-

денной, если определитель этой матрицы равен нулю |A| = 0, и невырожден-

ной, если |A| ≠ 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрица A–1 называется обратной к матрице A, если

A×A–1= A–1×A=E.

Основным методом вычисления обратной матрицы A–1 является метод присоединенной матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрица AV , составленная из алгебраических дополнений Aij соответствующих элементов aij матрицы A, называется присоединенной к матрице A:


	Α11	Α12	Α1n
	Α	Α	Α
ΑV =	21	22	2n .

	Α	Α	Α
	n1	n2	nn
Теорема. Если матрица A невырождена, то существует, и притом
единственная, обратная матрица A–1		, равная Α−1 =		1	(ΑV )T , где ∆=\|A\|, (AV)T –
единственная, обратная матрица A–1		, равная Α−1 =		∆	(ΑV )T , где ∆=\|A\|, (AV)T –

транспонированная присоединенная матрица. Доказательство теоремы проводится непосредственной проверкой того факта, что A×A-1=E.

Для обратной матрицы выполняются следующие соотношения:

Свойство 16. (α×A)-1=(1/α)×A–1.

Свойство 17. (A×B)–1 =B–1 ×A–1.

Свойство 18. (A–1)T=(AT)–1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015138.92 Кб638_UMK_Metodichka_1.docx
#
12.04.20152.35 Mб1029-Муфты.doc
#
15.03.2016970.98 Кб83978-5-7882-0688-2-Miheev_himiya-krasiteley.pdf
#
12.04.20151.27 Mб75ACCESS 2007.pdf
#
12.04.2015681.98 Кб49AiG-2014.doc
#
12.04.2015677.4 Кб81Algebra.pdf
#
01.03.20251.21 Mб3AnalitGeometry.doc
#
12.04.201563.52 Кб36Anketa-zayavka_uchastnika_Proekta.docx
#
12.04.20151.87 Mб338Aseeva_OSNOV_FILOSOFII_Uch_-metod_posobie.doc
#
13.08.20191.38 Mб46A_Rapid_Course_in_English_for_Students_of_Econo...doc
#
12.04.2015377.99 Кб35b766 программа практик.pdf