Вслучае переменной массы

,

где – реактивная сила.

При движении по кривой результирующая сила может быть разложена на две составляющие(рис. П 1.13)

;,

где R – радиус кривизны траектории;

– тангенциальная составляющая (касательная сила)

– нормальная составляющая (центростремительная сила).

Основной закон классической динамики– инвариантен при переходе от одной инерциальной системы к другой, при этом

ma=F; ma^'=F^'; F=F^'.

Третий закон классической динамики – силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению. Силы действия и противодействия приложены к разным телам и никогда не уравновешивают друг друга (рис. П 1.14):

F₁₂=-F₂₁.

Импульс силы –мера действия силы за некоторый промежуток времени:

.

Силы инерции.Обусловлены ускоренным движением системы отсчета по отношению к неподвижной системе. Различают:

1) силы, действующие на тело при ускоренном поступательном движении системы отсчета(рис. П 1.15):

ma^’= ma+F_ин,

где a^’– ускорение тела в неинерциальной системе отсчета;

a– ускорение тела в инерциальной системе отсчета;

F_ин– сила инерции.

2) силы, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета(рис. П 1.16):

,

где F_ц– центробежная сила инерции;

 – угловая скорость вращающейся системы отсчета;

r^’– радиус – вектор тела относительно начала вращающейся системы отсчета;

R– перпендикулярная к оси вращения составляющаяr^’.

3) силы, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета(рис. П 1.17):

F_к=2m[v^’ ω],

где F_к– сила Кориолиса;

v^’– скорость движения тела;

 – угловая скорость вращающейся системы отсчета.

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

ma^’=F+F_ин+F_ц +F_к,

где F,F_ин,F_ц,F_к– ранее рассмотренные силы, действующие в неинерциальных системах отсчета.

Основная задача динамики вращательного движения– нахождение угловых ускорений, сообщаемых известными силами.

Момент инерции– скалярная физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения – физическая величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси или центра вращения (рис. П 1.18):

I=mr².

Момент инерции тела относительно осиz– физическая величина, равная сумме моментов инерции отдельных материальных точек тела относительно той же оси вращения (рис. П 1.19):

;,

где m_i– масса i – й точки;

r_i– расстояние i – й точки до оси z;

ρ– плотность вещества, из которого состоит тело;

V – объем тела.

Теорема Штейнера– момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции того же тела I₀относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями (а):

I_z=I₀+mа².

На рисунке П 1.20 представлено применение теоремы Штейнера к расчету момента инерции диска относительно оси ОО^'параллельной оси О₁О₁^'.

Главные оси инерции– три взаимно перпендикулярных свободных оси вращения тела произвольной формы, проходящие через его центр масс.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси вращения(L) – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля импульса на плечо (рис. П 1.21):

L=p.

В векторной форме

L=[rp]=[rmv],

где m – масса материальной точки;

v – скорость материальной точки;

 – плечо (кратчайшее расстояние от направления импульса до оси вращения).

Момент импульса системы относительно неподвижной оси вращения z – проекция на эту ось вектора L(момента импульса системы):

,

где r_i,p_i– радиус – вектор и импульс i – й материальной точки;

n – общее число точек в системе.

Связь момента импульса тела с вектором угловой скорости ω и моментом инерции:

L=Iω.

Момент силы относительно центра вращения или неподвижной оси вращения– векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо (рис. П 1.22):

M=F,

где – плечо силы – кратчайшее расстояние от линии действия силы до центра вращения.

В векторной форме

M=[rF].

Главный или результирующий момент сил относительно неподвижной оси вращения равен векторной сумме моментов слагаемых сил:

.

Моменты сил относительно осей, которые перпендикулярны и параллельны оси вращения, равны нулю.

Основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирующихся) тел, для которых I=const (второй закон динамики для вращательного движения):

M=I∙ε;.

Импульс вращающего момента– произведение вращающего момента на время его действия:

Mdt=dL.

Осциллятор – физическая система, совершающая колебания. Система, у которой величины, описывающие ее, периодически меняются с течением времени.

Гармонический осциллятор – механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия, описывающие величины, которой изменяются по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).

Уравнение движения гармонического осциллятора:

;;,

где a=d²x/dt²= -ω₀²x – ускорение материальной точки;

F – возвращающая сила, которая стремится вернуть систему в положение равновесия (F= -mω₀²x= -kx);

x – смещение;

k=mω₀²– коэффициент возвращающей силы. Он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.

Решение уравнения движения гармонического осциллятора:

x=x₀sin(ω₀t+φ₀).

Уравнение гармонических колебаний в комплексном виде:

.

В теории колебаний принимается, что величина «x« равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом выражении справа.

Дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения

.

Решением дифференциального уравнения гармонических колебаний является выражение вида

x=x₀sin(₀t+₀),

где k=m₀²– коэффициент возвращающей силы;

x – смещение материальной точки;

x_o– амплитуда колебаний;

_o=2/Т=2– круговая (циклическая частота);

= 1/T – частота колебаний;

T – период колебаний;

= (₀t+₀) – фаза колебаний;

₀– начальная фаза колебаний.

Примеры гармонических осцилляторов: пружинный, физический, и математический маятники:

а) пружинный маятник– тело массой m (рис. П 1.23), подвешенное на пружине, совершающее гармоническое колебание.

Упругие колебания совершаются под действием упругих сил

F= -k∙,

где k=m_o²– коэффициент жесткости;

 – относительное удлинение.

Уравнение движения пружинного маятника:

;,

где;

 – величина деформации.

Решение уравнения движения пружинного маятника:

=()₀sin(ω₀t+φ₀).

Круговая частота, частота и период колебаний пружинного маятника:

;;;

б) физический маятник– твердое тело, совершающее гармоническое колебательное движение относительно оси, не совпадающей с центром масс (рис. П 1.24).

Уравнение движения физического маятника:

.

Решение уравнения движения физического маятника:

=₀sin(ω₀t+α),

где α – начальная фаза колебаний.

Круговая частота, частота и период колебаний физического маятника:

;;;,

где L=I/md – приведенная длина физического маятника – длина такого математического маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника;

I – момент инерции физического маятникa относительно оси колебаний;

m – масса физического маятника;

d– расстояние между осью колебаний и центром масс.

в) математический маятник– тело массой m, размерами которого можно пренебречь, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити (рис. П 1.25).

Круговая частота, частота и период колебаний математического маятника:

;;.

Приведенная длина физического маятника– величина, числено равная длине такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника:

.

Крутильные колебания– колебания, совершающиеся под действием закручивающего момента, пропорционального углу закручивания (колебания диска, подвешенного на стальной нити):

M= – D,

где – коэффициент крутильной жесткости;

G – модуль сдвига;

r – радиус нити;

 – длина нити.

Период колебаний крутильного маятника

,

где I _z– момент инерции тела относительно оси колебаний.

Затухающие (свободные) колебания – движения реальной колебательной системы, сопровождающиеся силами трения и сопротивления, которые приводят к уменьшению амплитуды колебаний (рис. П 1.26). При этом энергия, потерянная системой, не восполняется за счет внешних сил.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

,

где r – коэффициент сопротивления.

Решение уравнения затухающих колебаний:

,

где А=x₀e ^{– βt}– амплитуда колебаний, убывающая по экспоненциальному закону;

β=r/(2m) – коэффициент затухания, характеризующий быстроту убывания амплитуды с течением времени;

– собственная частота колебаний системы, т.е. та частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (r=0).

Круговая частота, частота и период затухающих колебаний:

; ;.

Характеристики затухающих колебаний:

1) декремент затухания– отношение двух смещений, отличающихся друг от друга по времени на период. Декремент затухания характеризует быстроту затухания в зависимости от числа колебаний:

.

2) логарифмический декремент затухания – величина, равная натуральному логарифму от декремента затухания. Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период:

=lnD=ln(e^βΤ)=βT.

Добротность колебательной системы

,

где N_e– число колебаний, за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.

Вынужденные колебания– колебания, совершаемые системами под действием внешней (вынуждающей) силы, изменяющейся по какому – либо закону, например гармоническому (рис. П 1.27):

f=F₀cost,

где F₀– амплитудное значение вынуждающей силы;

 – частота вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

,

где f=F₀sint – вынуждающая сила;

 – частота вынуждающей силы.

Решение уравнения вынужденных колебаний:

X=X₁+X₂=x₀e ^{– t}sin(ω't+φ₀')+x₀sin(ωt+φ),

где .

Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний:

;

.

Резонанс– явление резкого возрастания амплитуды колебаний при некоторой определенной для данной колебательной системы частоте (резонансной частоте). На рисунке П 1.28 показаны возможные кривые при резонансе.

Резонансная частота

.