Лекции 1,2

Используя специальные обозначения для определителей второго порядка, запишем (17) в виде

. (18)

Здесь определитель называется минором элемента , называется минорам элемента , называется минором элемента . Легко проверить, что миноры , , получаются из определителя вычеркиванием строки и столбца, в которых расположены соответственно элементы , , (черта над М означает вычеркивание).

Отметим, что часто элементы матрицы А называют также элементами определителя этой матрицы, что упрощает математические формулировки, хотя определитель – это просто число, а у числа нет никаких элементов.

Используя знак суммы, запишем формулу (18) в виде

(19)

Используя формулу (19), можно сформулировать другое определение определителя третьего порядка. Но особая ценность полученной формулы (19) заключается в том, что она легко обобщается на случай определителя порядка n, а именно: чтобы получить выражение, аналогичное (19), для определителя произвольного порядка, вместо цифры 3 над знаком суммы в (19) нужно поставить n.

. (20)

В формуле (20) - элементы первой строки матрицы порядка n

A

Определение 2 Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число

, (20)

которое обозначается

Здесь - миноры элементов первой строки

Если положить n=3, то получим формулу (19)..

Определение 2 указывает способ вычисления определителя. Вычисление определителя порядка n сводится к вычислению n миноров элементов первой строки, т. е. к вычислению n определителей (n-1)–го порядка. Таким образом, многократное применение формулы (20) позволяет свести вычисление определителя порядка n к вычислению определителей 2-го порядка.

Формула (20) – это разложение определителя по элементам первой строки.

Разложение определителя по элементам любой строки и любого столбца.

.

Теорема 1.

Оказывается определитель можно разлагать и по элементам любого столбца.

Теорема 2

Теоремы 1 и 2 доказываются методом математической индукции.

Ниже приведен пример разложения определителя четвертого порядка по элементам третьего столбца.

=7(-1)¹⁺³ +6(-1)²⁺³ +5(-1)³⁺³ +9(-1)⁴⁺³

Свойства определителей

Транспонированную матрицу обозначают также символом А^Т .

Это свойство докажем методом математической индукции, но сначала кратко об этом методе.

Метод математической индукции

Индукция – это метод рассуждений, ведущий от частных примеров к общему выводу.

В математике для доказательства утверждений относительно натурального числа n (утверждение далее будем обозначать А(n)) часто применяется метод математической индукции.

Приведем примеры утверждений A(n):

1) Число делится на 7 при любом натуральном n.

2) При любом n число P = n² + n + 41 является простым числом. (Неверное утверждение)

3) Если h > -1 и h ≠ 0, то >при любом натуральном n 2. (неравенство Бернулли).

4) Перестановка двух строк не изменяет абсолютной величины определителя порядка n, а знак меняет на противоположный..

Для того чтобы убедиться в справедливости утверждения A(n), нужно доказать, что оно верно при любом натуральном n, т. е. нужно проверить это утверждение при

n=1

n=2

n=3

.

.

.

Очевидно, что бесконечное число проверок при всех натуральных n выполнить невозможно.

Оказывается, что этого и не надо делать, если выполнить только одну проверку при n=1, а затем предположить. что утверждение A(n) верно при n = к и, используя это предположение, доказать A(n) верно при n = к+1.

В самом деле, пусть проверено утверждение

(A(n) верно при n=1). (*)

Пусть, кроме того, доказано, что из предположения о верности A(n) при n = к следует, что A(n) верно при n = к+1, т. е. доказано.

(A(n) верно при n=к) (A(n) верно при n=к+1) (**)

1) При n=1 согласно (**) имеем

(A(n) верно при n=1) (A(n) верно при n=2). (1)

Здесь (A(n) верно при n=1) уже не предположение, а доказанное (проверенное ) утверждение (см (*)).

2) При n=2 согласно (**) имеем

(A(n) верно при n=2) ( A(n) верно при n=3). (2)

3) При n=3 согласно (**) имеем

(A(n) верно при n=3) ( A(n) верно при n=4). (3)

4) При n=4 согласно (**) имеем

(A(n) верно при n=4) ( A(n) верно при n=5). (4)

.и т. д.

Таким образом, убеждаемся, что утверждение A(n) справедливо при любом n, и при этом ничего доказывать не надо, раз доказано (**).

Схема метода математической индукции

1) Проверить, что утверждения A(n) верно при n=1.

2). Предположить, что A(n) верно при n=к.

3). Используя предположение ( A(n) верно при n=к). доказать, что

A(n) верно при n = к+1.

Теперь приступим к доказательству свойства 2^о.

Докажем свойство 2^о для определителя порядка n

1). Поскольку самая маленькая матрица, в которой можно переставить строки, - это матрица второго порядка, то проверим свойство 2^о при n=2.

=

= -

2). Предположим, что свойство 2^о верно для всякого определителя порядка k2

3). Докажем, что свойство 2^о верно при n = k+1.

Для этого запишем определитель порядка k+1 в виде разложения по одной из строк, которая не переставляется. Не нарушая общности, разложим его по первой строке.

Поменяем местами две строки. Это могут быть любые две строки, кроме первой. Сразу отметим, что при перестановке выбранных строк, переставляются также две строки в определителях . Определитель с переставленными строками обозначим . Запишем разложение по первой строке.

Здесь миноры элементов первой строки обозначены буквой . Они отличаются от определителей , тем, что в них две строки переставлены. Но по предположению индукции для определителей и порядка k имеем = - , т. е.

,

.

Таким образом, согласно принципу математической индукции свойство 2^о справедливо для определителя любого порядка n

Далее нам потребуется операция умножения матрицы на число.

При умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число.

Если матрица состоит из одного столбца, то при умножении на число все элементы столбца умножаются на это число.

Линейное свойство сформулируем для столбцов, но оно, конечно, справедливо и для строк

Если в определителе

некоторый столбец с номером j является линейной комбинацией двух столбцов C и S с коэффициентами и

, ,

=,

то , где - определитель, у которого j-й столбец равен С, а все остальные столбцы те же, что и у , а - определитель, у которого j-й столбец равен S, а все остальные столбцы те же, что и у ,

Пример.

=

=+

Для доказательства свойства 3^о каждый из определителей , и разложим по элементам j-го столбца и заметим , что у всех трех определителей миноры j-го столбца одинаковы. Формула сразу вытекает из равенства

=,

которое переписывается в виде

.

Три основных свойства и пять следствий, вытекающих из этих свойств, следует применять при вычислении определителей.