Теорема о ранге матрицы.

Теорема. Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.

Пусть RgA=r.

1. Число линейно независимых строк в матрице А равно r. Действительно, если бы строки, в которых расположен базисный минор, были линейно зависимы, то базисный минор равнялся бы нулю, что невозможно.

2. Покажем, что любые р строк линейно зависимы, если р › r, В самом деле, при р › r элементы хотя бы одной строки не входят в базисный минор. Эта строка линейно выражается через остальные строки (согласно теореме о базисном миноре).

Теорема Кронекера-Капелли.

В этом случае столбец свободных членов

есть линейная комбинация всех столбцов матрицы А. Коэффициенты

этой линейной комбинации представляют собой решение системы (1)

Рассмотрим 3 примера. Системы заданы своими расширенными матрицами А^*.

Пример 1.

-7.000 1.000 -2.000 -26.000

-1.000 2.000 7.000 .000

-4.000 -1.000 -7.000 -18.000

Элементарными преобразованиями система приводится к виду 1

1.000 .000 .000 4.000

.000 1.000 .000 2.000

.000 .000 1.000 .000

Ранг матрицы системы RgA=3 равен рангу расширенной матрицы системы RgA^*=3, система совместна и имеет единственное решение.

Пример 2.

-7.000 1.000 -2.000 -26.000

-1.000 2.000 7.000 .000

5.000 3.000 16.000 26.000

Элементарными преобразованиями система приводится к виду

1.000 -.216 .000 3.569

.000 .255 1.000 .510

.000 .000 .000 .000

Ранг матрицы системы RgA=2 равен рангу расширенной матрицы системы RgA^*=2, система совместна и имеет бесчисленное множество решений.

Пример 3.

-7.000 1.000 -2.000 -26.000

-1.000 2.000 7.000 .000

5.000 3.000 16.000 33.000

Элементарными преобразованиями система приводится к виду

1.000 -.216 .000 3.569

.000 .255 1.000 .510

.000 .000 .000 7.000

Ранг матрицы системы RgA=2 не равен рангу расширенной матрицы системы RgA^*=3, система не совместна.

Теорема Крамера

Пользуясь свойствами алгебраических дополнений, получим формулы Крамера. Ранее эти формулы были получены для систем с двумя и тремя неизвестными. Для простоты записи рассмотрим систему с квадратной матрицей четвертого порядка, так как для матриц более высокого порядка рассуждения аналогичны.

₁₁Х₁ +₁₂Х₂ + ₁₃Х₃+ ₁₄Х₄ = b₁

₂₁Х₁ +₂₂Х₂ + ₂₃Х₃+ ₂₄Х₄ = b₂

₃₁Х₁ +₃₂Х₂ + ₃₃Х₃+ ₃₄Х₄ = b₃ (1)

₄₁Х₁ +₄₂Х₂ + ₄₃Х₃+ ₄₄Х₄ = b₄

Предполагая, что решение системы существует, зададимся целью получить значение какой-либо одной из переменных, например, Х₃.

Для этого умножим уравнения системы на алгебраические дополнения элементов третьего столбца. Первое уравнение умножим на А₁₃, второе – на А₂₃, третье – на А₃₃, четвертое – на А₄₃.

₁₁ А₁₃Х₁ +₁₂ А₁₃Х₂ + ₁₃ А₁₃Х₃+ ₁₄ А₁₃Х₄ = b₁ А₁₃

₂₁ А₂₃Х₁ +₂₂ А₂₃Х₂ + ₂₃ А₂₃Х₃+ ₂₄ А₂₃Х₄ = b₂ А₂₃

₃₁ А₃₃Х₁ +₃₂ А₃₃Х₂ + ₃₃ А₃₃Х₃+ ₃₄ А₃₃Х₄ = b₃ А₃₃

₄₁ А₄₃Х₁ +₄₂ А₄₃Х₂ + ₄₃ А₄₃Х₃+ ₄₄ А₄₃Х₄ = b₄ А₄₃

Складывая эти выражения, получим

Х₁(₁₁ А₁₃ + ₂₁ А₂₃ + ₃₁ А₃₃ + ₄₁ А₄₃)+

+Х₂(₁₂ А₁₃ + ₂₂ А₂₃ + ₃₂ А₃₃ + ₄₂ А₄₃)+

+Х₃(₁₃ А₁₃ + ₂₃ А₂₃ + ₃₃ А₃₃ + ₄₃ А₄₃)+ (*)

+Х₄(₁₄ А₁₃ + ₂₄ А₂₃ + ₃₄ А₃₃ + ₄₄ А₄₃)=

=(b₁ А₁₃ + b₂ А₂₃ + b₃ А₃₃ + b₄ А₄₃)

Но по свойству алгебраических дополнений имеем:

(₁₁ А₁₃ + ₂₁ А₂₃ + ₃₁ А₃₃ + ₄₁ А₄₃) = 0

(₁₂ А₁₃ + ₂₂ А₂₃ + ₃₂ А₃₃ + ₄₂ А₄₃) = 0

(₁₃ А₁₃ + ₂₃ А₂₃ + ₃₃ А₃₃ + ₄₃ А₄₃) = (**)

(₁₄ А₁₃ + ₂₄ А₂₃ + ₃₄ А₃₃ + ₄₄ А₄₃) = 0

(b₁ А₁₃ + b₂ А₂₃ + b₃ А₃₃ + b₄ А₄₃) =₃

С учетом (**) равенство (*) примет вид:

,Х₃(₁₃ А₁₃ + ₂₃ А₂₃ + ₃₃ А₃₃ + ₄₃ А₄₃)=

= (b₁ А₁₃ + b₂ А₂₃ + b₃ А₃₃ + b₄ А₄₃)

Иначе это можно переписать так:

X₃ =

₃ является определителем матрицы, которая получается из матрицы А системы (1) заменой третьего столбца столбцом правых частей этой системы.

Итак, если ≠ 0, тогда Х₃ однозначно определяется формулой

X₃=₃ /.

₃ является определителем матрицы А₃ . которая получается из матрицы А системы (1) заменой третьего столбца столбцом правых частей этой системы.

Аналогично находятся X₁, X₂, X₄.

X₁ =₁ /, X₂ =₂ /, X₄ =₄ /.и X_n = /.

Итак, доказано, что если решение системы (1) существует, и ≠0, то это решение однозначно определяется формулами Крамера X₁ =₁ /, X₂ =₂ /, X₃=₃/ , X₄ =₄ /. Если предположить, что существует другое решение, то оно при ≠0 тоже будет определяться формулами Крамера. Итак, формулы Крамера получены в предположении существования решения и доказывают его единственность при ≠0. При ≠0 других решений не существует.

Существование решения следует из теоремы Кронекера-Капелли. В самом деле, при ≠0 ранг матрицы системы максимальный. равный числу ее строк. Ранг расширенной матрицы не может быть больше числа строк, но он не может быть и меньше ранга матрицы. Ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны, система совместна.

Итак, доказана теорема. Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет и при том единственное решение, определяемое формулами Крамера X₁ =₁ /, X₂ =₂ /,…, X_n = /.

О вычислении обратной матрицы методом Гаусса

В предположении detA ≠ 0 требуется найти обратную матрицу А^-1 для матрицы

А =

Неизвестные элементы обратной матрицы А^-1 обозначим буквой Х с двумя индексами

А^-1 =

Как найти первый столбец обратной матрицы ?

Нетрудно заметить, что умножая поочередно строки матрицы А на первый столбец обратной матрицы А^-1, мы получим первый столбец единичной матрицы, т. е. для определения первого столбца обратной матрицы нужно решить систему уравнений

₁₁Х₁₁ +₁₂Х₂₁ + ₁₃Х₃₁ = 1

₂₁Х₁₁ +₂₂Х₂₁ + ₂₃Х₃₁ = 0

₃₁Х₁₁ +₃₂Х₂₁ + ₃₃Х₃₁ = 0

Решение этой системы можно найти методом Гаусса, начав преобразования с матрицы

_.

В результате преобразований получим

Как найти второй столбец обратной матрицы ?

Очевидно, что умножая поочередно строки матрицы А на второй столбец обратной матрицы А^-1, мы получим второй столбец единичной матрицы, т. е. для определения второго столбца обратной матрицы нужно решить систему уравнений

₁₁Х₁₂ +₁₂Х₂₂ + ₁₃Х₃₂ = 0

₂₁Х₁₂ +₂₂Х₂₂ + ₂₃Х₃₂ = 1

₃₁Х₁₂ +₃₂Х₂₂ + ₃₃Х₃₂ = 0

Решение этой системы можно найти методом Гаусса, начав преобразования с матрицы

В результате преобразований получим

Как найти третий столбец обратной матрицы ?

Этот столбец является решением системы

₁₁Х₁₃ +₁₂Х₂₃ + ₁₃Х₃₃ = 0

₂₁Х₁₃ +₂₂Х₂₃ + ₂₃Х₃₃ = 0

₃₁Х₁₃ +₃₂Х₂₃ + ₃₃Х₃₃ = 1

Решение этой системы можно найти методом Гаусса, начав преобразования с матрицы

В результате преобразований получим

Решая каждую из трех записанных выше систем методом Гаусса, мы выполняем над элементами первых трех столбцов одни и те же действия, так как матрицы систем (первые три столбца) во всех трех случаях одинаковы. Окончательные матрицы отличаются друг от друга лишь последним четвертым столбцом, только четвертые столбцы преобразуются по-разному.

Как следует поступить, чтобы трижды не выполнять одни и те же вычисления? Ответ очевиден. Чтобы трижды не выполнять одни и те же операции над матрицей системы (над первыми тремя столбцами), следует приписать к этой матрице справа все три столбца единичной матрицы (всю единичную матрицу).

После элементарных преобразований на месте трех столбцов единичной матрицы получим три столбца обратной матрицы (всю обратную матрицу), а на месте исходной матрицы получим единичную матрицу.

_.

Должно быть ясно, что в процессе элементарных преобразований ведущие элементы (коэффициенты перед переменной, которая исключается из всех уравнений, кроме одного) выбираются только в столбцах матрицы системы (в первых трех столбцах).

Аналогичные рассуждения можно провести для квадратной матрицы любого порядка.

39