
Лекции_РЭС / Лекция Методы анализа линейных цепей
.doc
Лекция «Методы анализа линейных цепей»
Линейные цепи состоят из пассивных и активных элементов, параметры которых не зависят от протекающих в них токов и приложенных к ним напряжений. Все электрические цепи, состоящие из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и соединительных проводов, линейны.
C
вязь
между входным UВХ(t)
= UВХ
и выходным UВЫХ(t)
= UВЫХ
сигналами устанавливают с помощью
дифференциального уравнения
Если цепь (далее часто четырехполюсник) линейна, то все коэффициенты
а0, a1,..., an и b0, b1,..., bm — постоянные вещественные числа.
Е
сли
UВХ(t)
задан, то правая часть уравнения , которую
условно обозначим через iВХ(t),
является известной функцией. Анализ
отклика линейной цепи на известное
входное воздействие сводится при этом
к известной в математике задаче решения
линейного дифференциального уравнения
n-го
порядка с постоянными коэффициентами.
Порядок n этого уравнения в радиотехнике принято называть порядком линейной цепи (системы).
К
линейным цепям (системам) применим
принцип суперпозиции:
выходной сигнал линейной цепи на
суммарное воздействие нескольких
входных источников равен алгебраической
сумме откликов на воздействие (входной
сигнал) каждого источника в отдельности.
где В — линейный оператор, характеризующий вид воздействия линейной цепи на входной сигнал.
Линейным системам свойственна еще и однородность (гомогенность), т. е. отклик системы на входной сигнал, усиленный в определенное число раз, будет усилен в то же число раз.
При анализе процессов в электрических цепях необходимо определить отклик цепи на входной сигнал в виде сигнала заданной формы. Отклик выражают в значениях напряжений u(t) и токов i(t) в разные моменты времени. При анализе воздействия сигналов на сложные по структуре цепи применяют следующие методы анализа:
-
классический;
-
частотный (спектральный);
-
операторный;
-
метод интеграла наложения.
Классический метод основан на составлении и решении дифференциальных уравнений и наиболее удобен для анализа прохождения импульсных сигналов через линейные цепи. Метод прост, нагляден, хорошо отражает физическую суть процессов. Очень сложен при анализе процессов и цепей выше третьего порядка. В этом случае удобнее применять спектральный и операторный методы или метод интеграла наложения.
Частотный (спектральный) метод. Оперирует с помощью параметра К(ω)- частотный коэффициент передачи.
В
комплексном виде
Частотный коэффициент передачи (или просто коэффициент передачи)
Модуль коэффициента передачи К(ω) = |К(ω)| называют амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент φ(ω) — фазочастотной характеристикой (ФЧХ).
Полоса пропускания (рабочая полоса) — области частот, где модуль коэффициента передачи К(ω) становится не менее 1/(2)0,5 своего максимального значения. На границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи по мощности, равный отношению выходной и входной мощностей, уменьшается в два раза.
Ширина полосы пропускания
∆ω = ωВ - ωН.
Для циклической частоты
Е
сли
на вход линейной цепи подается
гармонический сигнал единичной амплитуды,
имеющий комплексную аналитическую
модель вида UВХ(t)
= еjωt,
то сигнал на ее выходе запишется как
UВЫХ(t)
= К(ω) еjωt
. Подставляя эти выражения в (1), после
несложных преобразований запишем К(ω)
в
форме дифференциального уравнения
Т
.е.
если коэффициенты постоянные то К(ω)
представляет
собой дробно-рациональную функцию
переменной jω.
При этом коэффициенты этой функции
совпадают с коэффициентами дифференциального
уравнения. С помощью частотного
коэффициента передачи К(ω)
можно определить сигнал на выходе
линейного четырехполюсника. Пусть на
входе линейного четырехполюсника с
частотным коэффициентом передачи К(ω)
действует непрерывный сигнал произвольной
формы в виде напряжения UBX(t).
Применив прямое преобразование Фурье
определим спектральную плотность входного сигнала SВХ(ω). Тогда спектральная плотность сигнала на выходе линейного четырехполюсника
П
роведя
обратное преобразование Фурье
от спектральной плотности, получим выходной сигнал
Операторный метод основан на замене оператора дифференцирования d/dt комплексным параметром р, который переводит анализ сигналов из временной области в область комплексных величин. Рассмотрим некоторый комплексный или вещественный аналоговый сигнал u(t), определенный при t≥0 и равный нулю в момент времени t =0. Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной р, выраженная интегралом
u(t) называют оригиналом, а функцию U(p) его изображением
Для примера определим изображение функции включения σ(t)=1(t)
Учитывая
Получим
Преобразование Лапласа обладает линейными свойствами, т.е.
О
братное
преобразование Лапласа
где а1 — вещественная переменная, отражаемая на комплексной плоскости.
Осуществив преобразование Лапласа обеих частей дифференциального уравнения (1), получим
Передаточной функцией (операторным коэффициентом передачи) линейной цепи называется .
Где через Q(p) обозначают сомножитель перед UВЫХ(р) называя собственным оператором системы, а сомножитель перед UВХ(р) — через R(p) и называют оператором воздействия.
Передаточная функция К(р) отражает результат аналитического переноса комплексного частотного коэффициента передачи К(ω) с мнимой осную на всю область комплексных частот р=α+jω.
Если известна передаточная функция К(р), то выходную реакцию электрической цепи на заданное входное воздействие UВХ(t) можно определить по следующей схеме:
• записать изображение входного сигнала UВХ(t) -> UВХ(р);
• найти изображение выходного сигнала UВЫХ(р) = K(p)* UВХ(р);
• вычислить выходной сигнал UВЫХ(р) -> UВЫХ(t).
Метод интеграла наложения. Cвойства линейных четырехполюсников часто проще оценить видом их отклика на воздействие ряда элементарных сигналов. В качестве элементарных сигналов используются
-
прямоугольные импульсы, длительностью ∆, в пределе стремящиеся к дельта-функции δ(t);
-
ступенчатые функции, возникающие в виде функций включения σ(t) через равные промежутки времени ∆. Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени ∆.
Дельта-функция
и функция включения связаны между собой
аналитически. Результатом дифференцирования
единичной функции является дельта-функция
Импульсная характеристики линейной цепи h(t) - реакцию системы на поданную на вход дельта-функцию δ(t).
П
ереходная
характеристика g(t)
- отклик линейной цепи на единичную
функцию σ(t).
Пример
Характеристики линейной цепи.
а — различные виды импульсных; б — переходная
Если входной и выходной сигналы линейной цепи имеют одинаковую размерность, то импульсная характеристика, как и дельта-функция времени, имеет размерность частоты.
а - входной сигнал- прямоугольных импульсов
б - отклики на импульсы и выходной сигнал
а
- входной сигнал- прямоугольных импульсов
б - отклики на импульсы и выходной сигнал
Положим, что требуется определить выходной сигнал UВЫХ(t). Известны ее импульсная характеристика h(t) и входной сигнал UВХ(t). Заменим приближенно кривую входного сигнала UВХ(t)ступенчатой линией в виде совокупности достаточно коротких прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую длительность ∆τ. Если выбрать длительность ∆τ бесконечно малой, то отклик линейной цепи на первый по счету прямоугольный импульс будет приближенно равен отклику той же цепи на дельта- функцию (а это будет импульсная характеристика), умноженному на площадь (UВХ(0) ∆τ) первого импульса, т. е. UВХ(0) ∆τ h(t) Откликом цепи на второй импульс является произведение UВХ(∆τ) ∆τ h(t- ∆τ) , где UВХ(∆τ) ∆ τ — площадь этого импульса, а величина h(t- ∆τ) — импульсная характеристика цепи, соответствующая моменту времени t = ∆τ. Следовательно, для некоторого произвольного момента времени t = n ∆τ (n — число условно сформированных импульсов,
п
риходящихся
на интервал времени O...t) отклик линейной
цепи приближенно выразится суммой
Е
сли
длительность импульсов ∆τ, отражающих
входной сигнал, последовательно
приближается к нулю, то малое приращение
времени ∆τ превращается в dτ, а операция
суммирования трансформируется в операцию
интегрирования по переменной τ= k
∆τ
В
более общей форме
В теории электрических цепей часто применяют другую, эквивалентную форму интеграла Дюамеля