Методички.2 курс / Subj / 69-Общая теория статистики

Данные табл.3.3. показывают, что с ростом процентной ставки, под которую выдается банком кредит, средняя сумма кредита, выданная одним банком, уменьшается. Следовательно, между исследуемыми признаками существует обратная корреляционная зависимость. Теснота связи может быть измерена эмпирическим корреляционным отношением (расчет см. в теме 10 данного учебного пособия).

Тема 4. Абсолютные и относительные показатели.

Абсолютные и относительные величины являются обобщающими показателями, характеризующими количественную сторону общественных явлений.

Задача настоящей темы курса заключается в ознакомлении с абсолютными и относительными величинами, в выяснении и сущности и научной методологии применения в анализе явлений общественной жизни. При изучении данной темы следует обратить особое внимание на следующие вопросы: сущность и виды абсолютных и относительных величин, их значение и формы выражения и способы вычисления.

Абсолютные величины – именованные числа, имеющие определенную размерность и единицы измерения. Они характеризуют показатели на момент времени или за период. В зависимости от различных причин и целей анализа применяются условно-натуральные, денежные и трудовые единицы измерения. Абсолютные величины могут быть индивидуальными и итоговыми.

На основе абсолютных величин исчисляют относительные величины.

Относительные величины – показатели, которые дают числовую меру соотношения двух сопоставляемых статистических величин.

Относительные величины выражаются в коэффициентах, если базисная величина принимается равной 1, в процентах, если базисная величина принимается за 100, в промилле, если базисная величина принимается за 1000.

При рассмотрении отдельных видов относительных величин нужно уяснить роль каждого из них в статистической практике.

11

В зависимости от задач, содержания и познавательного значения выражаемых количественных соотношений различают следующие виды относительных показателей: 1) планового задания; 2) выполнения плана;

3)динамики; 4) структуры; 5) сравнения; 6) интенсивности; 7) координации.

1.Относительные показатели планового задания (ОВПЗ) – отношение уровня, запланированного на предстоящий период (упл.), к уровню показателя, достигнутого в предыдущем периоде (уо):

ОВПЗ = упл ×100 . уо

Пример 1. Во II квартале товарооборот магазина составил 200 млн. руб., в III квартале планируется товарооборот в 280 млн. руб. Определить относительную величину планового задания.

Решение: ОВПЗ = 280 ×100 = 140%.

200

Таким образом в III квартале планируется увеличение товарооборота магазина на 40%.

2. Относительные показатели выполнения плана (ОВВП) –

отношение фактически достигнутого уровня в текущем периоде (у1) к уровню планируемого показателя за этот же период (упл):

ОВВП = у1 ×100 .

упл

Пример 2. Товарооборот магазина в III квартале составил 292,5 млн. руб. при плане 280 млн. руб. Определить степень выполнения плана товарооборота магазина в III квартале.

Решение:

ОВВП = 292,5 ×100 = 104,5%.

280

План по товарообороту магазина выполнен на 104,5%, т.е. перевыполнение плана составило 4,5%

3. Относительные показатели динамики (ОВД) – характеризуют изменение уровня развития какого-либо явления во времени. Относительные величины динамики иначе называют темпами роста (Т):

ОВД(Т) = у1 ×100 .

упл

Пример 3. Во II квартале товарооборот магазина составил 200 млн. руб., в III квартале товарооборот составил 292,5 млн. руб. Определить относительную величину динамики по товарообороту магазина в III квартале по сравнению со II кварталом.

Решение:

ОВД = 292,5 ×100 = 146,3%

200

Товарооборот магазина возрос в III квартале по сравнению со II кварталом на 46,3%.

12

4. Относительные показатели структуры (d) – характеризуют состав изучаемой совокупности, доли, удельный вес элементов совокупности в общем итоге и представляют собой отношение части единиц совокупности ко всему объему совокупности:

d = часть целого ×100 .

Исчисленные относительные величины структуры представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Структура розничного товарооборота Российской Федерации

по кварталам 2000-2001гг.

Данные таблицы 4.1. свидетельствуют о том, что в изучаемые годы удельный вес розничного товарооборота закономерно растет от I к IV кварталу.

5. Относительные показатели сравнения (ОВС) – характеризуют отношения одноименных абсолютных показателей, относящиеся к одному и тому же периоду или моменту времени, но к различным объектам или территориям.

13

Пример 5. Средняя продолжительность жизни в 1994г. в Японии составляла 79,5 лет, в России 64,4 лет. Исчислить относительную величину сравнения, приняв за базу сравнения среднюю продолжительность жизни в России.

Решение:

ОВС = 79,5 = 1,2

64,4

Следовательно, средняя продолжительность жизни в Японии больше, чем

вРоссии в 1994 году в 1,2 раза.

6.Относительные показатели интенсивности – характеризуют степень насыщенности или развития данного явления в определенной среде и могут быть выражены в именованных числах или процентах, или в промиллях, или кратных отношениях.

Пример 6. Средняя численность населения Российской Федерации в 2000г. составила 145,5 млн. человек, число родившихся – 1338,6 тыс. чел. Определить число родившихся на каждую 1000 человек населения (относительную величину интенсивности, характеризующую рождаемость).

Решение:

На каждую 1000 человек населения рождаемость 9,2 человека.

7. Относительные показатели координации (ОВК) – характеризуют отношения частей изучаемой совокупности к одной из них, взятой за базу сравнения. Они показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой или сколько единиц одной части приходится на 1, 10, 100, 1000, 10000 единиц другой части.

Пример 7. Имеются следующие данные о численности экономически активного населения России по состоянию на начало 2001г., млн. человек:

Исчислить, сколько безработных приходится на 1000 занятых в экономике России.

Решение:

ОВК = 6,4 ×1000 = 98,6 человека.

64,9

Следовательно, на каждые 1000 занятых в экономике России приходится 98,6 безработных.

14

Тема 5. Средние величины.

При изучении данной темы следует обратить внимание на следующие вопросы: сущность и значение средних величин, их виды, способы вычисления и условия применения.

Средняя – это обобщающая количественная характеристика совокупности единиц однотипных явлений по какому-либо признаку. Отличительной чертой средних величин является то, что в них взаимно погашаются индивидуальные различия признака.

В зависимости от характера изучаемых явлений, конкретных задач и целей статистического исследования могут применяться различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая и структурные средние (мода, медиана). Выбор вида средних зависит от исходных данных и содержания определяемого показателя. Наибольшее распространение получила средняя арифметическая, как простая, так и взвешенная.

Средняя арифметическая простая применяется в том случае, когда отдельные значения признака (каждый вариант) не повторяются в совокупности несколько раз (встречаются один раз). Они исчисляются по формуле:

Χ = ∑ х , n

где х – индивидуальные значения признака (вариант); Χ – среднее значение признака;

n – число значений признака.

Пример 1. Доходы пяти банков по операциям с ценными бумагами за отчетный период составили: 0,6; 0,7; 0,9; 1,1; 1,3 тыс. руб. Определить средний доход банка по данной операции.

Решение: Средний доход пяти банков по операциям с ценными бумагами определим по средней арифметической простой:

Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда отдельные значения признака (варианты) встречаются в совокупности несколько раз. Она исчисляется по формуле:

Χ= ∑ x f ,

∑f

где f – частота (как часто встречается каждый вариант).

Пример 2. В трех партиях изделий с количеством 1200, 1800, 2400 штук обнаружен следующий процент брака:

первая партия – 2,5% вторая партия – 1,8% третья партия – 0,5%.

15

Требуется определить средний процент брака.

Решение: Доля брака представляет собой отношение числа бракованных изделий ко всей партии изделий. Процент брака обозначим через х, число изделий в партии через f. Если процент брака (х) умножим на число изделий (f), то получим число бракованных изделий во всей партии. Значит, следует применять формулу средней арифметической взвешенной.

Подставляя значения в формулу, получим:

Следовательно, средний процент брака составляет 1,38%.

Наряду со средней арифметической применяется в статистической практике обратная ей величина – это средняя гармоническая, которая тоже может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая применяется в тех случаях, когда объем признака w=1, то есть x f – величина постоянная (x f = const). Исчисляется по формуле:

Χ = ∑n ,

∑ 1x

где x – отдельные значения признака; Χ – среднее значение признака; n – число признаков.

Средняя гармоническая взвешенная применяется в том случае, когда не известна численность совокупности (f) и варианты (х) приходится взвешивать по объему признака (w).

Средняя гармоническая взвешенная исчисляется по формуле:

Χ = ∑ w ,

∑ 1x w

где w – объем признака, равный произведению вариант на частоты: w = x f.

Пример 3. Доходы банков в отчетном году характеризуются следующими показателями:

Определить среднюю процентную ставку банков.

Решение: Основой выбора вида средней является реальное содержание определяемого показателя:

процентная ставка = доход банка ×100. сумма кредита

16

Средняя процентная ставка равна отношению доходов банков к сумме их кредита. В данном примере отсутствуют прямые данные о кредитах (f). Но их суммы можно определить косвенным путем, разделив доход банка (w) на процентную ставку (х). Средняя процентная ставка будет равна:

Особыми статистическими характеристиками являются структурные средние (мода, медиана).

Модой называется величина признака, которая наиболее часто встречается в данной совокупности.

Вдискретном вариационном ряду мода определяется по наибольшей

частоте.

Винтервальном вариационном ряду мода определяется по формуле:

Определить модальную норму выработки.

Решение: Прежде всего определяем модальный интервал. Наибольшей частоте соответствует модальный интервал. Наибольшее число работников 48 человек выполняют норму выработки в интервале 110-120 (%), который и является модальным интервалом:

48 − 22

Мо = 110+10 = 114,5 (%).

(48 − 22) + (48 − 16)

17

Большинство работников на предприятии выполняют норму выработки на 114,5%.

Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда, то есть делит ряд пополам.

Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности:

Ме = ∑ f + 1 . 2 2

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

где xМе – начальное значение медиального интервала; iМе – величина медиального интервала;

∑ f – половина суммы частот;

2

S(Ме-1) – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

fМе – частота медианного интервала.

Медианным интервалом будет такой, комулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот.

Комулятивная частота образуется путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.

Пример 5. По данным примера 4 рассчитать медиану.

Решение: Определяем медианный интервал. Для этого подсчитаем сумму частот – 100, половинка суммы (100:2) = 50, то есть комулятивная частота не должна быть ниже 50 (чел.).

Образуем комулятивную частоту, накапливая частоты от интервала 8090 (3+7+22+48=80). Значит, медиальный интервал будет от 110 до 120, где находится медиана:

Ме = 110+10 50 − 32 = 113,8 (%).

48

Из расчета видно, что половина работников выполняют норму выработки до 113,8%, а половина выше 113,8%. То есть норма выработки 113,8% делит ряд пополам.

Виды средних: средняя хронологическая; средняя геометрическая – смотрите в теме 7 «Ряды динамики».

18

Тема 6. Показатели вариации.

В ходе анализа средних величин возникает вопрос о степени колеблемости признака. Необходимость изучения вариации вызывается тем, что на величине средней отражаются лишь общие условия, присущие данной совокупности, и не находят отражения индивидуальные особенности, порождающие вариацию признака у отдельных единиц совокупности. Исследование вариации является необходимым звеном в анализе экономических явлений и процессов. Показатели вариации служат вместе с тем и характеристикой типичности самой средней.

Студентам необходимо понять смысл и изучить методику расчета различных показателей вариации: размаха вариации, среднего линейного отклонения, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации. Размах вариации:

R = хmax – хmin,

где хmax, хmin – максимальное и минимальное значение признака.

Размах вариации дает только общее представление о колеблемости признака, но не показывает, как колеблется признак внутри совокупности.

Среднее линейное отклонение ( d ) определяется по формулам:

1) для несгруппированных данных (первичного ряда)

2) для n вариационного ряда

d= ∑ х − х f .

∑f

Среднее квадратическое отклонение (σ) рассчитывается по

Среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в тех же единицах измерения варьирующего признака.

Пример 1. По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Определить средний размер вклада и среднее квадратическое отклонение. Решение: Для расчета среднего размера вклада и среднего

квадратического отклонения строим расчетную таблицу 6.1.

19

Определим средний размер вклада:

Χ= ∑ х f = 312000 = 780 руб.

∑f 400

Определим среднее квадратическое отклонение:

Дисперсия признака (σ2) – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической:

Для сравнения размеров вариации различных признаков, а также для сравнения степени вариации одноименных признаков в нескольких совокупностях исчисляется относительный показатель вариации – коэффициент вариации (V), который представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

V = σ ×100 .

х

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков, а следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу:

V = 240 ×100 = 30,8%.

780

20