
- •Программа дисциплины
- •Раздел 1. Введение. Функции одной переменной
- •Раздел 2. Теория пределов
- •Раздел 3. Непрерывные функции
- •Раздел 4. Производная функции одной переменной
- •Раздел 5. Теоремы дифференциального вычисления. Исследование функций и построение графиков
- •Раздел 6. Функции нескольких переменных
- •Раздел 7. Неопределенный интеграл
- •Раздел 8. Определённый интеграл
- •Раздел 9. Ряды
- •Раздел 10. Дифференциальные уравнения
- •Контрольные задания, правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Методические указания Предел функции
- •Производная и дифференциал
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Применение понятия производной в экономике. Эластичность функции
- •Интегралы
- •Дифференциальные уравнения Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •Решение однородного линейного дифференциального уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •Решение неоднородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •Числовые и степенные ряды
- •Признаки сходимости числового ряда
- •Достаточные признаки сходимости числового ряда с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды.
- •Степенные ряды
- •Задания для выполнения контрольной работы
Признаки сходимости числового ряда
Необходимый признак сходимости числового ряда
Если ряд (11) сходится,
то его общий член un
стремится к
0, т. е..
Если
или этот предел не существует, то ряд
расходится.
Пример 28
Исследовать сходимость ряда
Решение : Проверим выполнение необходимого признака сходимости.
,
необходимое условие сходимости не
выполняется, поэтому ряд расходится.
Необходимое условие
сходимости не позволяет однозначно
ответить на вопрос о сходимости ряда.
Это означает, что существуют расходящиеся
ряды, для которых
.
Достаточные признаки сходимости числового ряда с положительными членами
Признак Даламбера.
Пусть дан
ряд (11) с положительными членами и
существует конечный или бесконечный ,
тогда если
,
то ряд сходится, если
,
то ряд расходится, если ,то вопрос о
сходимости ряда остается открытым.
Пример 29
Исследовать ряд на сходимость а) б)
Решение: а)
,
;
;
по
признаку Даламбера ряд сходится;
б)
,
.
По признаку Даламбера
<
1, ряд сходится.
Замечание. Признак Даламбера применяется когда общий член ряда содержит выражение вида n! или аn.
Признак Коши.
Пусть дан
ряд (11) с положительными членами и
существует конечный или бесконечный
предел . Тогда, если
,
то ряд сходится, если
,
то ряд расходится, если ,то вопрос о
сходимости ряда остается открытым.
Пример 30
а)б)
Решение. По признаку Коши.
а)
=
,
ряд сходится. б) ,
ряд расходится.
Интегральный
признак.
Если члены знакоположительного ряда
могут быть представлены, как числовые
значения некоторой функции
f(x):
u1=f(1),
u2=f(2),
u3=f(3),…
и функция
f(x)
─ непрерывная,
монотонно убывающая на интервале (1;
+
),
то:
если сходится, то сходится и ряд (1);
если расходится, то расходится так же и ряд (1).
Признак сравнения.
Пусть даны
два знакоположительных ряда и , для
всех n
выполняется неравенство ,
то если ряд сходится, то и ряд сходится,
если ряд расходится, то и ряд расходится.
Для сравнения часто используются «эталонные» ряды:
Геометрический
ряд
–
сходится при , расходится при .
Гармонический ряд – расходится.
Обобщённый гармонический ряд ,сходится при , расходится при .
Знакочередующиеся ряды.
Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
u1 - u2 + u3 - u4 +…+(-1)n+1un + …= . (12)
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются два условия :
1)последовательность
абсолютных величин членов ряда монотонно
убывает, т.е.
2)
общий член ряда стремится к нулю
.
Пример 31 Исследовать ряд на сходимость.
Решение: Проверим выполнение условий признака Лейбница
1) ;
;
члены ряда
убывают по абсолютной величине.
2) , условия признака Лейбница выполняются, данный ряд сходится.
Пример 32
Исследовать
сходимость ряда . Решение:
1)
;
;
члены ряда убывают по абсолютной
величине;
2), второе условие признака Лейбница не
выполняется, ряд расходится.