Решение однородного линейного дифференциального уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

характеристическое уравнение.

Корни характеристического уравнения	Вид решения
1. k1, k2 – действительные различные корни
2. k=k1=k2; k1, k2 – действительные равные корни
3. k1, 2= k1, k2-комплексные корни

Пример 22

;

Характеристическое уравнение ;k₁=1, k₂=2;

Общее решение

Пример 23

; ;;

Общее решение

Пример 24

; ;;,

Общее решение ─ .

Решение неоднородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

─линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и g.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

─общее решение соответствующего однородного уравнения;

─частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Для подбора частного решения по виду правой частиf(x) и корней характеристического уравнения можно пользоваться следующей таблицей.

Рассмотрим только те случаи, в которых корни характеристического уравнения – действительные числа.

Правая часть уравнения f(x)	Корни характеристическо-го уравнения	Вид частного решения уравнения
1. ─ действительное число ─ многочлен степениn>0 относительноx.	а) ─ не является корнем характеристическо-го уравнения, т.е ,
	б) ─ является корнем характеристическо-го уравнения =,
	в) ─ является двукратным корнем характеристичес-кого уравнения

Пример 25

однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Правая часть ─ многочлен 2-ой степени,.

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.

характеристическое уравнение; ;─ корни уравнения различные, общее решение соответствующего однородного уравнения ─

Найдём частное решение неоднородного дифференциального уравнения,

т. к. не является корнем характеристического уравнения, т. е.,

, то вид частного решения ;;. Найдём;и подставим полученные выраженияв исходное уравнение

; ;

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях x в левой и правой частях уравнения

, решая систему, получим .

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 26

; ;;,

; ;− многочлен нулевой степени,,;корень характеристического уравнения, следовательно, частное решение будем искать в следующем виде:;

; ;

; ;;;. Общее решение.

Пример 27

.

; ;;,

─общее решение соответствующего однородного уравнения.

0, ─ двукратный корень характеристического уравнения

, n=0, ,;

; ;

; ; ; .

Общее решение ─ .

Числовые и степенные ряды

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u₁,u₂, …u_n, … соединённых знаком сложения:

u₁+u₂++u_n+=(11)

Числа u₁,u₂,…u_n,… называются членами ряда, а u_n ─ общим членом ряд.

Сумма первых n членов ряда (11) называется n-й частичной суммой ряда и обозначается S_n, т. е. S_n=u₁+u₂++u_n.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (11), то этот предел называется суммой ряда, а ряд называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд (11) называется расходящимся.