§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле

Иногда удаётся перейти к более простому интегралу, заменив переменную. Пусть дан . Представим, что аргумент – некоторая функция. Тогда– новая функция от параметраt. Обозначим её как .Кроме того, . Подставим:

.

Но также новая функция от параметраt, обозначим её как . Получили новый интеграл. Задача – подобрать заменутак, чтобы новый интеграл оказался проще исходного.

Для этого некоторую часть функции заменяют параметромt: , выражают из этого равенства переменную:и затем уже приходят к интегралу от. Как правило,t – это какой-либо корень, скобка, показательная функция и т.п. – всё, что неудобно интегрировать.

Фактически интегрирование заменой переменных начинается не с поиска подстановки , а с обозначения некоторой части функцииновой буквойt, с последующим выражением x как функции и пересчётом.

Пример 1. Найдём . Можно раскрыть 4-ю степень скобки, получить 5 слагаемых, раскрыть произведение двух скобок и проинтегрировать всё, что получится. Очевидно, такой способ несколько громоздок. Тем более неясно, что делать при ещё больших и (или) нецелых степенях.

Сделаем так: пусть , тогдаи соответственно. Также найдём дифференциал:.

(Вспомним, что .) Подставим:

.

Теперь очень легко раскрыть скобки:

и найти интеграл как сумму двух табличных интегралов:

,

где .

Итак, , где.

Можно вернуться к исходной переменной:

и даже вынести общий множитель:

,

но это не всегда легко или целесообразно.

ЗМ1. Найдите интегралы, заменив скобку на новую переменную:

.

Пример 2. Найдём . Пусть, тогдаи. Также нам понадобится величина. Подставим в интеграл и сведём к общему знаменателю:

.

Интеграл распадается на сумму табличных:

, где .

Вынесем за скобку и вернёмся к старой переменной:

.

ЗМ2. Найдите интегралы при помощи подходящей замены знаменателя:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 3. Найдём интеграл . Заменим, тогда,и. Поэтому

.

Упростим и вернёмся к старой переменной:

.

Можно свести к общему знаменателю и найти, что .

Пример 4. Найдём . Заменим, тогдаи. Также.

Подставим:

.

По отдельности находим

а) ;

б) ;

в) (табличный интеграл);

тогда

,

где . Итак,.

В следующих примерах путём замены избавляются от корня.

ЗМ3. Найдите интеграл при помощи замены , выразив, замениви перейдя к интегралу от переменнойt:

.

Пример 5. Заменяем:

.

Подставим в интеграл:

.

Здесь 1/4 представили как 0,25 и – как. Учтём, что:

.

Можно вынести корень за скобку, упростить и получить, что

.

Замечание. Интеграл можно найти и без замен, представив числитель так:

,

затем сократив и применив основное правило табличного интегрирования. В более сложных интегралах такой способ не поможет.

ЗМ4. При помощи замены найдите

.

Пример 6. Чтобы найти , заменяем:

.

Подставив

,

находим табличный интеграл и возвращаемся к переменной x:

.

Ответ: .

ЗМ5. При помощи замены найдите

.

Пример 7. Возьмём . Заменив

,

подставим в интеграл: .

Разложим дробь на целую часть и правильную дробь:

,

тогда .

Учтём, что . Поскольку, запишем

Ответ: .

Пример 8. Поменяем в примере 7 знак в подкоренном выражении и найдём . Вначале отличия тоже только в знаке:

, ,,

поэтому .

При разложении дроби получим

,

и отличие от примера 7 окажется в поиске табличного интеграла:

.

Ответ: .

ЗМ6. Найдите интегралы

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Пример 9. Заменим, тогдаи. Подставим:

.

Разбиваем на 2 интеграла, находим по таблице, возвращаемся к переменной x:

.

Ответ: .

Пример 10. Заменим, тогда, затеми. Подставим:

.

Тем самым

, где .

Ответ: .

Модуль в ответе необязателен, поскольку (там, где корень имеет смысл, т.е. при всех).

Пример 11. Заменяем, тогдаи, откуда.

Подставим:

.

Значит, , где.

Ответ: .

Можно заменять не корень, а весь знаменатель, в котором он находится.

Пример 12. Найдём . Пусть. Выразимx:

,

откуда

.

Тогда . Поэтому

.

Интеграл разбивается на 2 простейших, и в результате

, где .

Итак, Ответ: .

ЗМ7. Найдите интегралы при помощи замены :

1) ;

2) .

Пример 12. Найдём . Пусть, тогдаи. В таком случае

.

ЗМ8. Найдите интегралы

.

Пример 13. Найдём . Показательные функции допускают несколько способов замены.

1-й способ. Заменим , тогда, поэтому. При этом. Подставим:

.

Известно, что , тогда

.

По таблице (интеграл 2)

.

Возвращаясь к старой переменной, запишем

Ответ: , что равносильно.

2-й способ. Заметим, что . Заменим, тогдаи. Подставим:

.

Ответ тот же, что при решении 1-м способом. Учли, что при любомx, поэтому модуль можно опустить.

Кроме того, в интеграле можно вместо заменыподвестипод знак дифференциала, как в§ 2:

,

или же заменить , откудаи, после чего получить

и найти так, как в § 3. Все ответы будут одинаковы.