2.1.2. Частная и множественная корреляция

Частная и множественная корреляция обычно рассматриваются при изучении совокупности многомерных измерений. Рассмотрим ее кратко на промере 3-мерного пространства.

Пусть имеем три переменные x, y, z.

Частным коэффициентом корреляции между x и yпри фиксированном значенииzили, другими словами, при исключении влияния на них переменнойzявляется величина, определяемая из выражения

= .

Остальные частные коэффициенты корреляции определяются путем замены в приведенной формуле соответствующих индексов.

Частные коэффициенты корреляции можно рассчитать, рассматривая корреляцию не непосредственно между переменными, а между отклонениями, в которых влияние других переменных исключено.

Для трех переменных это выглядит следующим образом. Пусть хиукорреляционно зависят отz. Выразим эту зависимость в виде:=f₁(z),= f₂(z). Рассмотрим разностие_х = (x–) ие_у = (y–). Ясно, что в них влияние переменнойzисключено, поэтому коэффициент корреляции между остаткамие_хие_убудет отражать связь между исходными переменнымихиус исключением влияния переменнойz. Таким образом=.

Частные коэффициенты корреляции обладают всеми свойствами парных коэффициентов корреляции. Они служат показателями чистой линейной корреляционной связи между переменными с исключением влияния учтенных переменных.

Частная корреляция помогает обнаружить величины, которые усиливают или ослабляют связи между конкретными переменными, и, в том числе, очищает взаимосвязи между переменными от опосредованных зависимостей.

В развитие дальнейшего рассмотрения корреляции распространим понятие корреляционной связи на более чем две переменные. Тесноту линейной корреляционной связи между одной переменной и несколькими другими измеряют с помощью коэффициента множественного корреляции. Множественный коэффициент корреляции, например, между величиной zи двумя величинамиxиyопределяется по формуле

.

Такой коэффициент заключен между нулем и единицей и равен единице, когда связь между величинами zи (x,y) является линейной функциональной, и равен нулю, если линейная связь междуzи (x,y) отсутствует. Другие множественные коэффициенты корреляции определяются путем замены соответствующих индексов в приведенной формуле.

Коэффициент множественный корреляции можно вычислить, рассчитав коэффициент корреляции между zи, где =f(x,y) – модельные значенияz, вычисленные по уравнению регрессии отхиу. Таким образом=.

Понятия частного и множественного коэффициентов корреляции можно распространить на случай более трех переменных. Вычисляются они на основе матрицы парных коэффициентов корреляции.

Так, коэффициент частной корреляции между переменными x_iиx_jпри фиксированных значениях всех остальных рассматриваемых переменныхX^(i,j)рассчитывается из соотношения

r_i,j.X^(i,j) = –R_i,j / (R_iiR_jj)^1/2,

а коэффициент множественной корреляции между переменной x_iи всеми другими переменнымиX⁽ⁱ⁾, т. е. коэффициентR_i.X⁽ⁱ⁾, рассчитывается из соотношения

R_i.X⁽ⁱ⁾=.

Здесь R_kl– алгебраическое дополнение для элементаr_klв определителе корреляционной матрицыRанализируемых признаков, аdetR– определитель этой матрицы.

При определении значимости частных коэффициентов корреляции пользуются теми же методами, что и для парных коэффициентов корреляции, уменьшая число степеней свободы на число исключаемых переменных, а для множественных коэффициентов корреляции используется F-статистика:

F=,

где m– число анализируемых переменных.

При верности гипотезы о равенстве нулю коэффициента множественной корреляции F-статистика следует распределению Фишера с числом степеней свободы числителя, равнымm, и знаменателя, равнымn – m –1.

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется коэффициентом множественной детерминации. Коэффициент множественной детерминации показывает долю вариации одной переменной, обусловленную изменением других включенных в анализ переменных.