11.10. Контрольные вопросы
1. Что называется функциональным рядом? Дайте определения сходящегося и равномерно сходящегося функциональных рядов. В чем состоит отличие?
2. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса для функциональных рядов. Приведите примеры применения.
3. Сформулируйте теорему о пределе суммы функционального ряда и теорему об её непрерывности. Приведите пример ряда с непрерывными функциями, у которого сумма является разрывной функцией.
4. Сформулируйте теоремы о дифференцировании и интегрировании функционального ряда. Приведите примеры применения.
5. Какой функциональный ряд называется степенным? Сформулируйте теорему Коши-Адамара. Какое множество является областью сходимости степенного ряда? Как его находят?
6. Сформулируйте теорему Абеля и теорему о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Приведите пример применения последней теоремы.
7. Какой степенной ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты этого ряда?
8.
В чем состоит необходимое и достаточное
условие сходимости
к своему ряду Тейлора? Только достаточное?
Приведите пример функции, к которой не
сходится её ряд Тейлора.
9.
Запишите разложения следующих функций
в ряд Маклорена:
.
10. Что называется основной тригонометрической системой и тригонометрической системой общего вида? Что означает ортогональность этих систем?
11. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье по основной тригонометрической системе и по тригонометрической системе общего вида.
12. Сформулируйте свойства коэффициентов Фурье, а также лемму Римана.
13. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье: а) для четных функций; б) для нечетных функций
14. Сформулируйте теорему Вейерштрасса. Какими свойствами должна обладать функция, чтобы абсолютно и равномерно сходился ее ряд Фурье?
15. Запишите тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме и коэффициенты Фурье. Приведите пример.
16. Какой вид имеет интеграл Фурье? При каких условиях интеграл Фурье сходится? Запишите интегральное преобразование Фурье.
11.11. Задачи для самостоятельного решения.
Найти область сходимости ряда
1.
.
2.
.3.
.
4.
.5.
.6.
.
Найти сумму ряда:
7.
.
6.
.7.
.
Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.
8.
,
.9.
,
.10.,
,
.
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х.
11.
. 12.
.13.
.
14.
.
Вычислить интеграл с точностью до 0.001.
15.
.16.
.17.
.18.
.
Разложить следующие функции в ряд Фурье.
19. 
,
20. 
,
,
.
21. 
,
,
.
22. Периодическая
с
функция
23. Периодическая
с
функция
24. 
.
25. 
.
26.
Постройте график функции
,
разложите заданную функцию
на указанном промежутке в тригонометрический
ряд Фурье
27.
на отрезке
.
Разложить в ряд в ряд по синусам.
28.
на отрезке
.
Разложить в ряд по
синусам.
29.
на отрезке
.
Разложить в ряд по косинусам
.
30.
Разложите заданную функцию
на указанном интервале в тригонометрический
ряд только по синусам
31.
Разложите функцию
,
заданную на интервале
графически, в тригонометрический ряд
Фурье: а)
по косинусам; б)
по синусам.
