11.6. Свойства коэффициентов Фурье

Коэффициенты ряда Фурье обладают рядом важных свойств.

1. Если имеет период(например, рис. 11.1), то коэффициенты ряда Фурье для нее вычисляются по следующим формулам

, ,.

ƒ Известны свойства периодических функций

а) ;

б) ;

в) .

Тогда доказываемые формулы получаются, если в них положить ,.<

2. Если четная функция, тодля.

Если нечетная функция, то,для.

ƒ По определению: четная функция удовлетворяет условию , а нечетная. Известно, что:

а) если ,четные функции, то– четная;

б) если нечетная, ачетная, то– нечетная;

в) если инечетная, то– четная.

Тогда, если – четная, то– нечетная, т.к.нечетная.

.

Таким образом, . Аналогично доказывается, что еслинечетная, то.<

Из этого свойства следует, что тригонометрический ряд Фурье для четных функций имеет вид

,

где ,,

Для нечетных функций тригонометрический ряд Фурье соответственно имеет вид

,

где ,

Сделанные выводы сохраняются для тригонометрических рядов по системе общего вида. Для четной функции:

,

где ,.

Для нечетной функции:

,

где .

3. Лемма Римана. Если кусочно-непрерывная функция на, то,.

ƒ Пусть ,, …,точки разрыва функции. Для доказательства достаточно показать, что интегралы от функцииипо каждому из отрезков,, …,стремятся к нулю при. Пустьодин из таких отрезков,непрерывна на. Покажем, что.

Функция непрерывна на, следовательно, она ограничена

для (24)

и по теореме Кантора равномерно непрерывна. Следовательно, для такое, что длявыполняется, тогда

для . (25)

Зададим и выберем нас шагомразбиениетак, чтобы,и.

Произведем оценку интеграла:

.

Так как , то из (24) и (25) имеем

,

при .

Откуда следует, что при имеем

, т.е. .<

Тогда, очевидно, что для кусочно-непрерывной на функции

.

Последнее следует из формул (23).

Пример 25. Разложить в ряд Фурье двумя способами функцию, представленную на рис. 11.2 по косинусам и по синусам.

Решение.

а) Разложение в ряд по косинусам. Продолжим, как показано на рис. 11.3, получим четную функцию, определенную наи совпадающую сна.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье, учитывая, что

.

.

Разложение будет иметь вид

.

б) Разложение в ряд по синусам. Продолжим, как показано на рис. 11.4, получим функцию, определенную наи совпадающую сна.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье. Так как получившаяся функция нечетная, то

.

Получаем выражение для ряда Фурье заданной функции

.

11.7. Сходимость ряда Фурье

Рассмотрим вопрос о сходимости ряда Фурье. Вначале заметим, что если ряд Фурье сходится на отрезкек функции, то в силу периодичности его членов он сходится на всей числовой прямой к периодической функции. Эта функция является периодическим продолжением с периодомфункции. Поэтому будем считать, что на числовой прямой задана периодическая с периодомфункция, интегрируемая наи для нее написан ряд Фурье с коэффициентами, определенными по формулам (23).

Теорема 15. (Дирихле) Пусть выполняются условия:

1) периодическая с периодомфункция;

2) кусочно-непрерывная на;

3) имеет в каждой точкеправую и левую производные.

Тогда ряд Фурье функции сходится всюду, причем его сумма в точках непрерывности функции равна, а в точках разрыва равна.

ƒ Вначале получим интегральное представление для частичной суммы .

.

Воспользуемся формулой

(26)

и получим

.

Производя замену , получаем

.

Так как под интегралом стоит периодическая с периодом функция, то интеграл по любому отрезкуимеет одно и тоже значение

.

Заменяя в первом интеграле , получаем

. (27)

Из (26) следует, что

.

Тогда в силу (27) имеем

. (27)

Функции икусочно-непрерывны на, так как имеют разрывы первого ряда в тех же точках, что и функцииисоответственно. Прииможно считать непрерывными, так как в силу условий теоремы существуют пределы

–правая производная.

–левая производная.

Перейдем в (27) к пределу при . В силу Леммы Римана приоба интеграла равны 0. Следовательно, длявыполняется

.

В частности, если – точка непрерывности функции, тои.<

Теперь рассмотрим достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Определение 7. Говорят, что функция имеет на отрезкекусочно-непрерывную производную, еслисуществует и непрерывна на отрезке, за исключением может быть конечного числа точек, в каждой из которых функцияимеет пределы слева и справа.

Теорема 16. Пусть непрерывная периодическая (с периодом) функция, имеющая на отрезкекусочно-непрерывную производную. Тогда ряд Фурье функциисходится абсолютно и равномерно на всей числовой прямой.

ƒ По условиям теоремы имеет кусочно-непрерывную производную, тогда она в каждой точке имеет левую и правую производные, и, таким образом,удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и поэтому ряд Фурье сходится всюду к. Докажем, что ряд сходится абсолютно и равномерно.

Пусть икоэффициенты Фурье функции. Тогда

.

Аналогично получаем, что .

Рассмотрим числовой ряд

.

Этот ряд сходится, так как ,, а ряды;,– сходятся. Сходимость первых двух рядов следует из неравенства Бесселя

.

Из сходимости ряда в силу признака Вейерштрасса следует абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье на всей числовой прямой.<

Замечание. Доказанная теорема естественно переносится на тригонометрические ряды Фурье периодических функций с произвольным периодом.