11.4. Ряд Тейлора

Пусть функция является суммой степенного ряда

, (15)

интервал сходимости которого есть .

Найдем коэффициенты . В интервале сходимости ряд можно почленно дифференцировать, причем получится ряд, сходящийся в этом интервале. Продифференцируем последовательно рядраз

,

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Положим в этих тождествах.

;;;;.

Откуда коэффициенты ряда

, ,,…,.

Подставляя в (15) получим ряд

(16)

Полученный ряд (16) называется рядом Тейлора для функции .

В частности, если , то этот ряд называетсярядом Маклорена.

Таким образом, если степенной ряд имеет сумму, то коэффициенты этого ряда определяются по формулам

,(17)

В этом случае говорят, что функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки или по степеням. Очевидно, что ряд Тейлора является бесконечным продолжением формулы Тейлора.

Ясно, что если разлагается в степенной ряд (т.е. является суммой степенного ряда), то оначисло раз дифференцируема.

Поставим обратную задачу. Пусть –бесконечное число раз дифференцируемая функция в точке . Составим для нее формально ряд Тейлора (16), т.е. найдем коэффициентыпо формулам (17). Возникает вопрос: будет ли сумма данного ряда Тейлора совпадать с функцией, для которой он составлен?

Теорема 12. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора необходимо и достаточно, что бы остаточный рядв формуле Тейлора для функциив окрестности точкистремится к 0 при, т.е.

(18)

‰ Запишем формулу Тейлора в окрестности точки ,

где ,остаточный член в формуле Лагранжа.

Ясно, что ряд Тейлора представляет собой бесконечное удлинение функции Тейлора.

Необходимость. Обозначим частичную сумму ряда

.

Тогда из формулы Тейлора получаем ,.

Пусть – сумма ряда Тейлора, т.е. . Тогда из,.

Достаточность. Пусть, . Изследует, что, т.е.является суммой ряда Тейлора.<

Непосредственная проверка выполнения условия (18) обычно бывает довольно сложной. Сформулируем достаточное условие сходимости ряда (16) к .

Теорема 13. Пусть функция бесконечное число раз дифференцируемая в некоторой окрестности точкии, что выполняется

, и , (19)

тогда ряд (16) сходится к .

‰ Надо показать, что при сделанных предположениях в теореме выполняется условие (18). Из формулы

следует, что . Но (известно из теоремы пределов). Тогда условие (18) выполняется и из теоремы 12 следует, что теорема доказана.<

Следствие. Пусть все производные ограничены в совокупности в интервалеи, т.е., что выполнитсядляи. Тогда ряд Тейлора сходится к на .

Заметим , что ряд Тейлора не всегда сходится к той функции, для которой он написан.

Пример 16.(Адамар) Функция бесконечное число раз дифференцируема. Если, тои функция, очевидно, дифференцируемая. Припроизводные вычисляются по определению, причем. Отсюдаи ясно, что полученный ряд тождественно равен нулю и не сходится к функции.

Получим разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды.

Показательная функция ,.

,.

.

При ряд Тейлора имеет вид:

На произвольном интервале и все ее производные ограничены в совокупностидляи. Тогда по следствию ряд сходится кна. Так как числопроизвольное, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Функция , .

–бесконечно число раздифференцируемая.

, ,,, …

Получаем ,,,,, …

Все ее производные ограничены в совокупности на всей числовой прямой так как

.

Следовательно, формула

справедлива при всех , т.е. степенной ряд сходится для.

Функция , .

вывод аналогичный. Областью сходимости являетсяснова вся числовая прямая.

Степенная функция ,,, .

,

,

.

…

.

Вычисляя , получим степенной ряд Маклорена, который называетсябиномиальным рядом:

По признаку Даламбера легко показать, что областью сходимости биномиального ряда является интервал . Поведение призависит от. Показано, чтопри.

Если – натуральное число, то все коэффициенты при степеняхприравны нулю и разложение превращается в формулу бинома Ньютона, верную при всех

.

Стандартным путем разложения известной функции в степенной ряд является следующий: вычисляют производные, формально составляют ряд Тейлора и смотрят, сходится или не сходится ряд к . Однако часто этот путь является сложным. Поэтому используют другие приемы, так, например, были получены разложениеис помощью дифференцирования и интегрирования известного степенного ряда.

Логарифмическая функция

.

Интервал сходимости . Это легко показать по признаку Даламбера.

Функция .

Интервал сходимости .

Для разложений функций в степенные ряды обычно используют эти разложения, а также разложения

, , справедливые при.

Пример 17. Разложить в ряд по степенямх.

Решение. Так как , то можно воспользоваться разложением в ряд для функции.

Пример 18. Разложить в ряд по степенямх.

Решение. Так как , то можно воспользоваться разложением в ряд для функции.

Пример 19. Разложить в ряд по степенямх.

Решение. Воспользуемся формулой понижения степени и представим исходную функцию следующим образом

.

Воспользуемся известным разложением в ряд функции , получим

.

Пример 20. Разложить в ряд по степеням.

Решение. Преобразуем выражение для функции и воспользуемся известным разложением для .

Пример 21. Разложить в ряд по степеням.

Решение. Представим исходную функцию следующим образом

.

Вычислим коэффициенты ряда:

,

,

,

,

, …

.

Получаем ряд

Пример 22. Разложить в ряд функцию по степеням. Указание.

Решение. Воспользуемся формулой (9). Учитывая, что , получаем

.

Замечание. Разложение функции в степенные ряды используют для решения многих задач: вычисления пределов; нахождения интегралов; приближенное вычисление значений функции; приближенного вычисления определенных интегралов; приближенного решения дифференциальных уравнений и т.д.

Пример 23. Вчислить интеграл с точностью δ=0,001: