11.2. Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда

Теорема 4.(о перестановочности предельного перехода и суммирования).

а) Пусть выполняются условия:

1) последовательность равномерно сходится к функциина множестве;

2) – предельная точка множества;

3) существуют пределы.

Тогда последовательность сходится и

. (4)

б) Пусть выполняются условия:

1) ряд равномерно сходится кна;

2) – предельная точка множества;

3) существуют пределы .

Тогда ряд – сходится, причем

. (5)

 Доказательство выполним только для последовательности. Покажем, что последовательность сходится. Т.к.сходится равномерно на, то в силу критерия Коши (теорема 1) длятакие, чтоивыполняется. Переходя к пределу в неравенстве при, так как, получим, т.е. последовательность фундаментальная, а это означает, что она сходится.

Докажем справедливость формулы (4). Возьмем . В силу равномерной сходимостидлятакое, чтоивыполняется

. (6)

Так как , то длявыполняется

. (7)

Возьмем . Для этогоN справедливы неравенства (6) и (7). Так как , то, что выполнится

при . (8)

Тогда будем иметь из (6) – (8):

,

т.е. 

Замечание. Поскольку ,, то (4) можно записать

.

Таким образом, в случае равномерной сходимости и при существовании , порядок взятия предела можно изменять.

Аналогично для функциональных рядов имеем

.

Таким образом, если ряд равномерно сходится на множестве и существуют пределы, то операции предельного перехода и суммирования перестановочны.

Теорема 5. (о непрерывности предельной функции и суммы ряда).

а) Пусть последовательность непрерывных на отрезкефункций равномерно сходится кна, тогда ее пределтакже непрерывная на [a, b] функция.

б) Пусть все члены ряда непрерывные нафункции, а сам ряд сходится равномерно на, тогда его сумматакже непрерывна на

 Доказательство для рядов. Пусть . Надо доказать, чтонепрерывна для. Возьмеми найдем пределв этой точке. Используя предыдущую теорему, получим

.

Аналогично для последовательности. 

Если последовательность непрерывных функций (ряд) сходится неравномерно, то ее предел (сумма ряда) может быть разрывной функцией.

Пример 11. на отрезке.

Решение. Члены ряда непрерывны наи.

,

т.е. получили, что – разрывная в точках.

Теорема 6. (о дифференцировании функциональных последовательностей и рядов).

а) Пусть задана последовательность , удовлетворяющая следующим условиям:

1) дифференцируема надля;

2) последовательность сходится при некотором;

3) последовательность равномерно сходится на.

Тогда последовательность равномерно сходится на отрезкек некоторой функциии (), причем

, . (9)

б) Пусть ряд удовлетворяет следующим условиям:

1) длядифференцируема на;

2) ряд сходится при некотором;

3) ряд сходится равномерно на.

Тогда ряд сходится равномерно нак некоторой функции, т.е., и причем

.

 Доказательство приведем для последовательности. Покажем, что и сходится равномерно на. Используем критерий Коши. Пустьи. Из очевидного тождества

для

получим следующее неравенство

, .

Возьмем произвольное . Т.к. последовательностьсходится равномерно на, то, что при всехи длявыполнится

.

Так как сходится, то, что длявыполняется

.

Тогда получаем

для и, следовательно, в силу критерия Коши, последовательностьравномерно сходится нак.

Докажем равенство (9). Пусть – произвольная точка. Рассмотрим последовательностьопределенную на множествеи докажем, что она сходится равномерно. Рассмотрим. Применим кформулу Лагранжаили

.

Тогда

,

т.к. последовательность сходится равномерно.

Таким образом, для , что выполняетсядляив силу равномерной сходимости. Откуда следует, что последовательностьсходится равномерно на, причем

.

.

.

Поэтому , и по определению производной выполняется.

Тогда по теореме 1 последовательность сходится, причем. Так какпроизвольная точка, то теорема доказана.<

Таким образом, при выполнении условий теоремы операции предельного перехода и дифференцирования, а также суммирование и дифференцирование перестановочны.

Отметим, что если в теореме отбросить условие равномерной сходимости на, то теорема неверна.

Теорема 7. (об интегрировании функциональных последовательностей и рядов).

а) Пусть последовательность равномерно сходится к некоторой функциина отрезке, причем каждаяимеет первообразную на. Тогда

.

б) Пусть ряд равномерно сходится на отрезке, причем каждая из функцийимеет первообразную на. Тогда рядсходится равномерно на, причем

, (9)

т.е. ряд можно почленно интегрировать.

‰Докажем теорему для последовательностей. Положим,. Тогдапричем

1) – дифференцируемая функция;

2) последовательность – сходится;

3) последовательность сходится равномерно на.

Следовательно, последовательность по предыдущей теореме сходится равномерно нак некоторой функциипричем

.

Отсюда следует, что

.

Таким образом, прина.

Подставляя , получаем, что.<

Пример 12. Рассмотрим ряд . Он равномерно сходится на,по признаку Вейерштрасса. Тогда его можно почленно интегрировать. Получим:

.

Так как любое число из (0, 1), то представление справедливо. Таким образом, можно приближенно вычислить логарифмы.