Задачи для самостоятельного решения

1. Движение управляемого объекта описывается уравнением первого порядка, где– траектория движения,– управление, действующее на объект. Требуется найти управление, минимизирующее критерий эффективности, с фиксированным левыми свободным правым концом (), без ограничений на траекторию управления.

2. Движение объекта описывается уравнением вида >0,

. Требуется найти управление, переводящее объект из точки в точкуза кратчайшее время. Ограничений на траекторию не накладывается.

3. Движение объекта описывается системой уравнений вида,с двумя управляющими параметрами:и, причёмТребуется перевести объект из состоянияв состояние=(0;0) за кратчайшее время, если ограничений на траекторию движения не накладывается.

Практическое занятие №9 Динамическое программирование

Цель занятия: Решение задачи об оптимальном управлении для линейных непрерывных АС с использование уравнения Р.Беллмана.

Краткие теоретические сведения

Пусть функционирование управляемого объекта описывается системой вида:

(9.1)

где– траектория;– управление. Заданы начальные условия. Требуется найти такие, которые минимизируют критерий:

(9.2)

Решение задачи (9.1) – (9.2) может быть найдено из уравнения Беллмана:

, (9.3)

где – функция Беллмана (доставляет минимум критерию (9.2)). Уравнение (9.3) должно удовлетворять граничному условию

Задача поиска оптимального управления методом динамического программирования решается в следующей последовательности:

1) записать уравнение Беллмана;

2) найти значение, которое доставляет минимум выражению (9.2), это будет условно- оптимальное управление:

(9.4)

3) выражение (9.4) подставляем в (9.3) и получаем уравнение в частных производных 1-го порядка типа Гамильтона-Якоби.

4) решая полученное уравнение, находим функцию, и, которые подставляем в (9.4) и находим безусловно-оптимальное управление.

Пример решения задачи. Движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений вида

Требуется найти такие, минимизирующие критерий.

Решение. Составляем уравнение Беллмана:

,

обозначим Найдем экстремум функцииК по u:

, где – условно-оптимальное управление.

Подставляем в уравнение Беллмана:

Полученное уравнение решается либо численными методами, либо заранее известен вид функции.

Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть движение управляемого объекта описывается системой уравнений вида. Требуется найти управление, переводящее систему из точкив точку, причём такое, что критерий вида J=достигает минимума.

Указание 1. Когда правые части системы и подынтегральное выражение в критерии эффективности не зависят явно от времени, уравнение Беллмана имеет вид

Указание 2. Функцию следует искать в виде

где

2. Решить задачу быстродействия перевода управляемого объекта из состояния в состояние=0, движение которого описывается уравнением, с ограничением на управление, без ограничений на траекторию движения.