Практическое занятие №8 Принцип максимума Понтрягина

Цель занятия: Решение задачи об оптимальном управлении в случае, когда управляющие воздействия ограничены и описываются кусочно-непрерывными функциями.

Краткие теоретические сведения

Постановка задачи. Пусть движение управляемого объекта описывается системой вида:

(8.1)

где– траектория развития процесса;– вектор управлений, действующих на систему. Векторпринадлежит некоторой допустимой области значений, т.е.

(8.2)

Будем считать заданными :

, (8.3)

где -начальный момент времени;-конечный момент времени;– начальное положение управляемого объекта;– не фиксируется.

Среди управлений из области (8.2) необходимо найти оптимальное управление,которое минимизирует критерий эффективности:

, (8.4)

где – известная функция своих аргументов.

Решение. Введем новую функцию, определив ее из решения уравнения:

, (8.5)

тогда

Уравнения (5.1)-(5.5) можно записать в виде основной системы:

Кроме нее будем рассматривать еще одну систему, относительно вспомогательных неизвестных ,определив их из решения следующейсопряженной системы:

(8.7).

Введем в рассмотрение функцию

, (8.8)

тогда с помощью нее системы (8.6) и (8.7) можно записать в виде

–основная система, (8.9)

–сопряженная система. (8.10)

Потребуем, чтобы вектор-функция удовлетворяла граничным условиям:

Теорема. Если – оптимальное управление, а– соответствующая оптимальная траектория, минимизирующая критерий (8.4) при уравнениях движения (8.1), ограничениях (8.2) и краевых условиях (8.3), то тогда существует ненулевое решение сопряженной системы (8.7), т.е., что для любогофункция (8.8), достигает наибольшего значения в области (8.2) при, т.е.

.

Решать задачи на нахождение оптимального управления с использованием принципа максимума следует в таком порядке:

1.Составить функцию вида (8.8) и систему (8.10).

2.Найти максимум функции в области (8.2) по переменной. В результате получим условно-оптимальное управление:

(8.11)

3.Функцию (8.11) надо подставить в систему (8.10), а если нужно, то и в систему (8.9), и в результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных.

4. Решая данную систему (пункта 3) с начальными условиями (8.3), получаем оптимальную траекторию.

5.Найденные инадо подставить в (8.11) и тем самым будет найдено безусловно оптимальное управление.

Пример 1. Решается задача:, где– траектория развития процесса,– управление.

Найти:и, удовлетворяющие условию:

W=.

Решение. Решим данную задачу с использованием принципа максимума. Введем функцию , где.

Тогда исходную систему можно представить в виде

_{Введем функцию},где – неизвестные функции времени, тогда

Запишем сопряженную систему : Решении данной системы в развернутом виде может быть представлена следующим образом:

Запишем в явном виде

и найдем экстремум этой функции по u :

Таким образом закон изменения оптимального управления имеет вид

Для нахождения оптимальной траектории движения объекта нужно подставить u(t) в исходную систему, тогда

Пример 2. Использование принципа максимума при решении задач о предельном быстродействии.

Решается задача:,– траектория движения объекта,– управление.

Требуется найти оптимальное управление, переводящее систему или объект из некоторого начального состоянияв конечноеза минимальное время. На управление наложено ограничение.

Решение. Составим функцию Найдем экстремум этой функции поu:

.

Например, если