Задачи для самостоятельного решения

1. Эффективность функционирования управляемого процесса оценивается критерием вида :

,

где – частота,– траектория функционирования процесса. Найти явный вид траектории,, которая доставляет экстремум данному критерию.

2. Функционирование управляемого процесса описывается уравнением вида, для которого заданны следующие граничные условия:

.

Требуется найти такую траекторию и такой закон изменения управления, при котором минимизируется критерий.

3. Функционирование управляемого процесса описывается уравнением –, где–const, при заданных начальных условиях. Требуется найти такую траекторию и такое управление, при котором минимизируется критерий.

4. Движение управляемого объекта описывается уравнением вида

,

где –const, – траектория,– управление. Начальные условия имеют следующий вид:Требуется найти такую траекториюи такое управление, при которых критерийдостигает максимума.

Практическое занятие №7 Вариационные задачи на условный экстремум

Цель занятия: Решение задачи об оптимальном управлении, в случае функционала, зависящего от нескольких функций, связанных между собой дополнительным условием.

Краткие теоретические сведения

В задачах данной темы требуется найти кривые, доставляющие экстремум критерию эффективности и при этом, помимо граничных условий эти кривые должны удовлетворять некоторым уравнениям связи.

Общая постановка задачи следующая: найти траекторию и управление, которые доставляют экстремум критерию эффективности:

(7.1)

при граничных условиях

, (7.2)

(7.3)

и являются решениями уравнений связи

. (7.4)

Задача (7.1)-(7.4) называется задачей Лагранжа.

Решение. Введем новый критерий эффективности

(7.5)

где,

вектор, компонентами которого являются неопределенные функции, называемые множителями Лагранжа.

С помощью этих множителей задача на условный экстремум критерия (7.1) сводится к задаче на безусловный экстремум критерия (7.5), которая решается с использованием уравнений Эйлера.

Пример решения задачи. Движение управляемого объекта описывается системой вида:

где – траектория движения управляемого объекта;– управление, воздействующее на систему.

Найти, которое доставляет минимум критерию вида:

(критерий энергетических потерь системы), и закон изменения координат:

Решение. Составим вспомогательный функционал:

Составим систему уравнений Эйлера:

,

т.е. окончательно система уравнений Эйлера будет иметь вид

Закон изменения координат:

Задачи для самостоятельного решения

1. Движение управляемого объекта описывается системой уравнений вида:, где– траектория управляемого процесса,– управление, действующее на объект. Требуется найти оптимальное управление, минимизирующее критерий эффективностии закон изменения координат управляемого процесса:. Задачу решить с использованием уравнений Эйлера-Лагранжа.

2. Функционирование системы описывается системой уравнений вида,, где– управление. Требуется найти оптимальное управление, минимизирующее критерий эффективностиI=и закон изменения координат:,.

3. Считается, что в первом приближении система управления слежением летящего самолета описывается дифференциальными уравнениями вида:

,

где– угол поворота;– угловая скорость;– ускорение. Требуется выбрать оптимальный закон изменения, таким образом, чтобы энергетические потери системыбыли минимальными.