Задачи для самостоятельного решения

1. Используя теорему Ляпунова об устойчивости по первому приближению, исследовать на устойчивость нулевое решение следующих систем:

2. Используя критерий устойчивости Гурвица, исследовать на устойчивость нулевое решение следующих уравнений:

а)

б) ;

в)

г)

3. При каких значениях будет устойчиво нулевое решение уравнений:

а) ;

б)

в)

4. При каких значениях ибудет устойчиво нулевое решение уравнений:

а) ;

б) .

5. Используя критерий устойчивости Михайлова, исследовать на устойчивость нулевое решение уравнений:

а);

б)

в)

г)

Практическое занятие №5 Уравнение Эйлера

Цель занятия: Решение задачи об оптимальном управлении в случае функционала, зависящего от производной первого порядка.

Краткие теоретические сведения

Исследуется на экстремум, критерий следующего вида :

(5.1)

где –траектория развития управляемого процесса;– начало функционирования процесса;– окончание функционирования процесса;– некоторая известная функция своих аргументов.

Являются заданными начальное и конечное состояния процесса:

_. (5.2)

Задача (5.1),(5.2) называется вариационной задачей с закрепленными граничными точками. Решение данной задачи находится из решения уравнения Эйлера, которое имеет вид

В развёрнутом виде уравнение Эйлера представлено следующим выражением:

. (5.3)

Решение уравнения Эйлера ищется в виде, где–const, определяемые из условий (5.2).

Пример решения задачи. Эффективность химико-технологического процесса определяется критерием вида

, (5.4)

где;– траектория развития процесса,– время его функционирования. Требуется найти явный вид траектории, которая доставляет экстремум критерию (5.4), при

_{Решение:} Запишем уравнение Эйлера в развернутом виде:

Согласно условию Лежандра, необходимым условием максимума или минимума является выполнение соответствующих условий:или. Таким образомдостигает максимума:

Получаем неоднородное уравнение:

Решение данного уравнения представляется в виде

,

где – решение однородного уравнения,– частные решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравненияищем в виде

,

где и–const, определяемые из начальных условий. Решение неоднородного уравнения будем искать в виде

,

где A,B,C,D могут быть найдены, например, методом неопределенных коэффициентов:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t:

C и D – могут быть любыми, положим, например, C=D=0. Тогда получаем окончательно:

,

Определим константы ииз начальных условий

Тогда– оптимальная траектория развития управляемого процесса, доставляющая максимум критерию (5.4).

Задачи для самостоятельного решения

1.На каких кривых достигают экстремум следующие функционалы:

1) J,,;

2) J,,;

3) J,,;

4) J,

5) J, ,.

Практическое занятие №6 Уравнение Эйлера-Пуассона

Цель занятия: Решение задачи об оптимальном управлении в случае функционала, зависящего от производных более высоких порядков.

Краткие теоретические сведения

Предположим, что требуется исследовать на экстремум критерий вида :

, (6.1)

где – известная функция своих аргументов;–траектория развития процесса;– начальные и конечные моменты времени.

Будем также предполагать, что– непрерывна иn+2 раза дифференцируемая по всем своим аргументам функция. Граничные условия имеют вид:

(6.2)

Решение задачи (6.1)-(6.2) определяется из решения уравнения Эйлера-Пуассона, которое имеет вид:

Пример решения задачи. Управляемый процесс оценивается критерием вида:

Найти оптимальную траекторию развития процесса.

Решение. Запишем следующее уравнение:, для которого уравнение Эйлера-Пуассона имеет вид:

При взятии дифференциала порядок производной наращивается, т.е.

,

окончательно получаем:

Пусть, например, t₀=0, t₁=1 и заданы начальные условия вида:

Решая данную систему, получаем:, т.е. данный критерий эффективности достигает экстремума на кривой вида.