Краткие теоретические сведения

Пусть работа АС или её звена описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

(2.1)

где - входной сигнал,- выходной,–const.

К уравнению (2.1) применим преобразования Лапласа:

, где .

По теореме о дифференцируемости оригинала при нулевых начальных условиях: , получим:

, где ,

.

Отношение (2.2) называется передаточной функцией АС или её звена.

Переходной функцией системы или её звена называется её реакция на единичное входное воздействиепри нулевых начальных условиях, то есть.

При этом единичная функция определяется следующим образом:

Пример решения задачи. Задана передаточная функция работы АС

Найти: .

Решение: восстановим исходное уравнение работы АС.

, .

Переходя от операторных функций ,к функциям времени,

, получаем:

.

Чтобы найти переходную функцию , надо решить следующее уравнение:

.

Так как нас интересует это уравнение при , то задача сводится к решению уравнения:

.

Решение этого уравнения имеет вид:

,

где - общее решение однородного уравнения,– частное решение.

Найдем общее решение уравнения

.

Составим характеристическое уравнение , корень этого уравненияявляется действительным числом. Общее решение имеет вид:

.

Частное решение имеет вид . Следовательно, полное решение

.

Учитывая, что ,и, следовательно, переходная функция имеет вид.

Функцию , которую получают из передаточной функции (2.2) при подстановке в неё:

называют частотной передаточной функцией.

Функцию вида (2.3) можно представить в виде

,

где ,.

Если , то.

На комплексной плоскости частотная передаточная функция определяет вектор, длина которого равна, а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) -. Кривую, которую описывает конец этого вектора при, называютамплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Частотную передаточную функцию называют такжеамплитудно-фазовой частотной функцией. Её действительную часть и мнимую частьназывают соответственновещественной и мнимой частотной функцией. График вещественной частотной функции (кривая зависимости ) называетсявещественной частотной характеристикой, а график мнимой частотной функции – мнимой частотной характеристикой.

Модуль называютамплитудно-частотной функцией, её график – амплитудно-частотной характеристикой.

Аргумент называютфазовой частотной характеристикой.

Кроме перечисленных частотных характеристик используются ещё логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ).

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти передаточные функции АС, работа которых описывается уравнениями:

а)

б).

2. Записать дифференциальные уравнения АС по известной передаточной функции:

3. Найти передаточную функцию АС по известному операторному уравнению:

а) ,,,,.

б) ,,, все коэффициенты положительны.

4. Работа дифференцирующего звена описывается уравнением вида

Определить характеристики данного звена: ,,,,. Построить графики функций,,,.

5. Работа звеньев АС задана схемами вида:

а) б)

Найти ,,,,. Построить графики функций.