
- •Глава 9. Криволинейные и кратные и кратные интегралы
- •9.1. Интегралы по компактной фигуре
- •9.1.1. Определение и существование интегралов по фигуре
- •9.1.2. Свойства интегралов
- •9.1.3. Геометрический и физический смысл интегралов по фигуре
- •9.2. Криволинейные интегралы
- •9.2.2. Криволинейный интеграл iIрода
- •9.3. Двойные интегралы
- •9.3.1. Вычисление двойных интегралов. Основным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к повторным однократным интегралам. Сначала рассмотрим случай прямоугольной области.
- •9.4. Поверхностные интегралы
- •9.4.1. Вычисление поверхностного интеграла Iрода.
- •9.4.2. Поверхностный интеграл iIрода.
- •9.4. Тройные интегралы
- •9.4.1. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •9.5. Интегралы, зависящие от параметра
- •9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:
- •9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве. Будем рассматривать интегралы вида:
- •9.6. Контрольные вопросы
- •9.7. Задания для самостоятельной работы
9.4. Поверхностные интегралы
9.4.1. Вычисление поверхностного интеграла Iрода.
Лемма. Площадь проекции плоской фигуры на плоскость равна площади самой фигуры, умноженной на абсолютную величину косинуса двугранного угла между плоскостями.
Рассмотрим две плоскости
и
,
образующие двугранный угол
(рис.21). Пусть в плоскости
задана фигура
,
а
её проекция на
.
Обозначим их площади соответственно
и
.
Надо доказать, что
. (19)
С
это прямоугольник, одна сторона которого
параллельна ребру двугранного угла, а
другая –
перпендикулярна ребру (рис. 22).
Т
Рис.21также будет прямоугольник
,
у которого одна сторона также параллельна
ребру и также равна
,
а другая перпендикулярна ребру и равна
.
Продолжим стороны
и
до ребра. Получим линейный угол
,
который измеряет двугранный угол. Тогда
,
т.е.
есть проекция
на плоскость. Отсюда получаем
если
– острый угол.
Р
Рис.22.
Разобьём её на части прямыми линиями,
одни из которых параллельны ребру,
другие – перпендикулярны. Линии разбиения
проектируются на
и получается аналогичное разбиение на
фигуры
.
Будем считать, что
число прямоугольников при таком разбиении
равно
на фигуре
.
Обозначим площадь каждого прямоугольника
на
через
,
.
Площадь полученных прямоугольников в
проекциях обозначим через
.
Тогда площадь
будет состоять из площадей прямоугольников
и тех частей, которые расположены у
границы области
,
т.е. площадей некоторых неправильных
частей. При достаточно мелком разбиении
общая площадь неправильных частей сколь
угодно мала, поэтому можно записать
,
а это и есть равенство (24).
Если
– тупой угол, то следует взять
,
т.к. площадь неотрицательна.
<
Р
Рис.23и пусть на ней задана некоторая функция
(рис.23). Пусть поверхность задана
уравнением
,
т.е. всякая прямая параллельная осиОz
пересекает поверхность
только один раз. Пусть функция
интегрируема на поверхности
.
Возьмём бесконечно малый элемент
поверхности
и найдём связь между
и его проекцией
на плоскостьОху.
Эта проекция есть бесконечно малый
элемент области
,
в которую проектируется поверхность
.
Вычислим поверхностный интеграл
.
Пусть в некоторой
точке
поверхности
имеется касательная плоскость
,
уравнение которой имеет вид:
Т
Рис.24принадлежит некоторому элементу
поверхности
рис.24. Заменим изогнутый элемент
плоским элементом
,
имеющим ту же проекцию, что и
в плоскостиОху.
Можно приближёно считать, что
.
Нормальный вектор
плоскости
имеет координаты
.
В качестве нормального вектора плоскостиОху
возьмем
.
Тогда косинус угла между плоскостью
и плоскостьюОху
есть косинус угла
,
который получается между нормалью
в точке М
к поверхности
и осью Oz:
.
Тогда по лемме имеем:
,
,
откуда имеем:
. (20)
Вернёмся к вычислению
интеграла
.
Так как поверхность
задана функция
,
то из (20) следует, что
, (21)
Формула (21) сводит
вычисления поверхностного интеграла
по изогнутой поверхности
,
заданной уравнением
,
к вычислению двойного интеграла по
плоской области
,
которая является проекцией
на плоскостьОху.
Если поверхность
задана уравнением
,
т.е. всякая прямая, параллельная осиОу,
пересекает поверхность
один раз, то формула для вычисления
поверхностного интеграла, связывающая
его вычисления с вычислениями двойного,
следующая
,
где
есть проекция
на плоскостьОхz,
,
– острый угол с осьюОу.
Если
,
то
,
где
– проекция
на плоскостьОуz,
,
– острый угол с осьюОх.
Если на разных участках поверхность Σ задана различными уравнениями, то надо интеграл представить как сумму интегралов по различным участкам.
В случае
параметрического (т.е. более общего)
способа задания поверхности
и
,
определенной и непрерывной на
,
имеют место следующие формулы:
,
где
,
,
.
Пример 10.
Вычислить поверхностный интеграл
первого рода
,
гдеΣ
– часть гиперболического параболоида
,
вырезанная цилиндром
.
Решение.
Воспользуемся формулой (21), когда
:
где
– круг
.
Переходя к полярным координатам
,
и сводя двойной интеграл к повторному
находим
.