9.1.2. Свойства интегралов

Справедливы следующие свойства, аналогичные свойствам для определенного интеграла Римана.

Теорема 4 (линейность). Если функции и определены и интегрируемы на компактной фигуре , то функция также интегрируема, причём

.

 Докажем для криволинейного интеграла в , т.е. . Рассмотрим разбиение кривой L и выберем

,

так как и интегрируемы, а, следовательно, пределы существуют. 

Теорема 5 (аддитивность). Если функция интегрируема на фигуре , а фигура разбита на две связанных и не имеющих общих внутренних точек фигуры ₁ и ₂, т.е., то интегрируема на каждой из них, причем

.



Рис.6

Докажем теорему для двойного интеграла. П

усть область представляет собой объединение двух областейи, граница между которыми есть кусочно-гладкая кривая . Рассмотрим разбиениенаnчастей , , так, чтобы кривая была составлена из числа линий разбиения (рис.6). Тогда в попала часть разбиения , например , т.е.,а в попала оставшаяся часть разбиения, т.е. . По определению интегрируемой функции в области имеем:

,

где , . Так как предел слева существует, то существует и пределы справа. 

Теорема 6 (монотонность). Если функции и интегрируемы на компактной фигуре и и , то справедливо неравенство

.

В частности, если , то .

Доказать самостоятельно.

Теорема 7. Интеграл по компактной фигуре от функции на равен мере этой фигуры, т.е. , в частности:

• для отрезка ;

• для спрямляемой кривой ;

• для области ;

• для ограниченной поверхности ;

• для пространственного тела.

 Для тройного интеграла получаем:

. 

Это свойство позволяет с помощью интегралов вычислять длины кривых, площади плоских областей и поверхностей, объёмы тел.

Теорема 8 (об оценке интеграла). Если определена и непрерывна на и , , тогда справедливо неравенство:

. (3)

 Пусть некоторое разбиение. При произвольном выборе точек на имеем , . Тогда получаем

аналогично доказывается вторая часть неравенства (3). 

Теорема 9. (о среднем значении). Если функция непрерывна на компактной фигуре , то существует точка , что выполняется равенство:

(4)

Число называется средним значением функции на .

 Доказательство следует из теоремы 8 и свойств функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области, которая принимает все свои промежуточные значения между m и M, т.е. .

Разделим обе части (3) на

.

Из последнего неравенства в силу теоремы Коши для непрерывных в области функций следует выражение (4). ■

Теорема 10. (оценка абсолютной величины интеграла). Если интегрируема на , то и функция интегрируема на , при чём

.

9.1.3. Геометрический и физический смысл интегралов по фигуре

Из теоремы 7 следует, что интеграл по от единичной функциинаесть мера этой фигуры, т.е. длина, площадь или объём, в зависимости от типа. Рассмотрим другие геометрические приложения.

Геометрический смысл криволинейного интеграла 1-го рода по кривой на плоскости.ПустьL– кривая, лежащая на плоскостиOxy. Рассмотрим, причем,для любых.

П

остроим цилиндрическую поверхность с направляющей линиейL и образующими, параллельными Oz. Поверхность пересекает цилиндрическую поверхность по исходной кривойГ. (рис.7).

О

Рис.7

Рис.7

бозначим часть цилиндрической поверхности между кривымиL и Г через . Тогда интегральная суммапредставляет собой приближённое значение площади цилиндрической поверхностис-образующими, параллельными осиОz. Если , то получим точную площадь, а это и есть криволинейный интеграл 1-го рода. Таким образом, криволинейный интегралпо плоской кривойL равен площади куска цилиндрической поверхности с направляющей L и образующими, параллельными Oz, срезанного сверху поверхностью .

Рис.8

Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим двойной интеграл . Предположим, что функцияположительная в области.

Рассмотрим в пространстве тело, ограниченное снизу областью , сверху поверхностью, а с боков цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной осиOz, проведённой через границу области . Такое тело будем называть цилиндрическим (рис. 10.8).

Если разбить область наn участков , площадью,, и на каждом участке взять точку, то произведениеесть приближённый объём цилиндрического тела с основанием, образующей, параллельной осиOz и проходящей через границу , и накрытого сверху куском поверхности, вырезанного этими образующими. При этом– приближённая высота цилиндра.

Если просуммировать при достаточно большом числе n разбиения, то есть приближённый объём цилиндра телаV. В качестве значения объема V возьмём предел, когда максимальный диаметр площади : .

Таким образом, двойной интеграл от положительной функции по области, есть объём соответствующего цилиндра тела, ограниченного поверхностью.

Рис.9

Потенциал простого слоя. П

усть на поверхностинепрерывным образом распределены массы с заданной величиной в точкеплотностью. Пусть в некоторой точке вне поверхностинаходится единица массы (рис.9). Определим, какой по величине и направлению слойпритягивается в точкеА поверхностью , если в основу положен закон тяготения Ньютона.

Если бы точка А притягивалась лишь одной материальной точкой с сосредоточенной в ней массой, то величина силы была бы,. Так как сила направлена отА к М, то направляющие косинусы вектора будут соответственно равны,,. Следовательно, проекции силы равны:

; ;.

В случае системы притягивающих точек эти выражения заменились бы системами подобных выражений, а при непрерывном распределении масс по поверхности появляются интегралы. Применим общий приём. Рассмотрим элементарную поверхность с точкойи массой, сосредоточенной в ней. Оказываемое притяжение будет иметь проекции

; ;.

При суммировании и предельном переходе, при , получаются формулы для проекции силы–притяжение простого слоя:

; ; . (5)

Полученные интегралы являются поверхностными интегралами первого рода. Таким образом, сила притяжения определяется по формуле:

.

В случае одной притягивающей точки , проекции притягивающей силы имеют вид (5). Легко проверить, что эти проекции являются частными производными поот функции– ньютоновский потенциал. При непрерывном распределении масс по поверхностиполучается формула:– потенциал первого слоя масс, распределённого по поверхностис плотностьюотносительно точкиА.

Механический смысл интегралов по фигуре. Будем считать, что рассматриваемая фигура материальна, т.е. обладает некоторой массой. Так, в отношении отрезка будем считать, что это тонкий материальный стержень, всеми размерами которого можно пренебречь, кроме длины. КриваяL –соответственно представляет собой тонкий изогнутый материальный стержень. Плоскую область D и поверхность будем представлять как материальные пластинки (плоские и изогнутые), толщиной которых можно пренебречь. Пространственное телоV будем рассматривать как естественное тело с некоторой массой. Введем понятие плотности фигуры, как функцию точки.

На отрезке выделим элементи обозначим его массу. Линейной плотностью стержняв точкебудет называться предел. Если стержень неоднородный, то в каждой точке плотность различная.

Если стержень криволинейный, определённый кривой L, то

.

Для пластины D, имеющей некоторую массу рассмотрим элемент с массойи. Тогда поверхностная плотность пластинки будет.

Аналогично, поверхностная плотность тяжёлой криволинейной пластинки будет.

Объёмная плотность в точке материального телаV определяется равенством .

У каждой из рассматриваемых фигур плотность является функцией точки, т.е. .

Поставим задачу определения массы некоторой компактной фигуры , имеющей плотность. Рассмотрим некоторое разбиение,, причёмдостаточно большое число. На каждом элементе разбиениявыберем произвольную точку. При мелком разбиении можно считать приближённо, что плотностьна каждом элементе разбиения постоянна, причём. Тогда масса элемента разбиения будет, а вся массабудет приближённо равна. Ясно, что чем мельче разбиение, тем точнее можно посчитать массу. За точное значение массы фигуры примем предел, где.

Если этот предел существует и не зависит от разбиения и выбора точек , то есть интеграл по фигуре, т.е..

Если непрерывная или кусочно-непрерывная функция, то интеграл существует. Вообще говоря, еслина, томожно

интерпретировать как массу этой фигуры с плотностью